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Version 50.1 von Stephanie Wietzorek am 2025/11/18 09:17
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5
6 == Äquivalenzumformungen ==
7
8 {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
9 Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
10
11 ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
12 ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
13 ☐ Addieren von x auf beiden Seiten
14 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
15 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
16 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
17 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
18 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
19 ☐ Dividieren beider Seiten durch x
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
23 Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
24 (%class="abc"%)
25 1. Jede Gleichung hat eine Lösung
26 1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
27 1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
28 1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
29 {{/aufgabe}}
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31 == Lösen von Gleichungen ==
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33 {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
35
36 {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 {{/aufgabe}}
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39
40 {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
42
43 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44 |= Gleichung |= Lösungsmenge
45 | 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
46 | 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
47 | 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
48 | 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
49 | 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
50 | 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
51 | 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
52 | 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
53 | 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54 {{/aufgabe}}
55
56 {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
57
58 Es ist folgende Gleichung gegeben:
59
60 {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
61
62 Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
63
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
67
68 Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
69 {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
70
71 ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
72 ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
73 ☐ {{formula}}x{{/formula}} ist dreimal so groß wie {{formula}}y{{/formula}}, weil 4 – 1 = 3.
74 ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
75 {{/aufgabe}}
76
77 == Bruchgleichungen ==
78
79 {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
80 Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
81 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
82 |= Bruch |= Definitionsmenge
83 | 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
84 | 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
85 | 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
86 | 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
87 | 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
91 Finde den Hauptnenner folgender Brüche
92 (%class="123"%)
93
94 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
95 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
96 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
97 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
98 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
99 {{/aufgabe}}
100
101 {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
102 (%class="123"%)
103 Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
104
105 1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
106 1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
107
108
109 {{/aufgabe}}
110
111 {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
112 Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
113
114 {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
115 {{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
116 {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
117 {{formula}}12x = 10 {{/formula}}
118 {{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
119 {{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
120 {{/aufgabe}}
121
122 {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
123 Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
124 (%class="123"%)
125 1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
126 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
127 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
128 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
129 1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
130 {{/aufgabe}}
131
132 {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133 Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
134 ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
135 ◦ keine bzw.
136 ◦ unendlich viele Lösungen
137 besitzt.
138
139 {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
140
141 {{/aufgabe}}
142
143 == Formeln ==
144
145 {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
146 Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
147 {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
148 {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
149 {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
150 (%class="abc"%)
151 Forme die Formel nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} um.
152 {{/aufgabe}}
153
154 {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
155 Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
156 Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
157 {{/aufgabe}}
158
159 {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
160 Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
161 [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
162 (%class="abc"%)
163 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
164 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
165 1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
166 1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
167
168 {{/aufgabe}}
169
170 {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3 K4, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
171 Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
172 In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
173 In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
174 (%class="abc"%)
175 1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
176 1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
177 1. Erläutere, warum sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
178 {{/aufgabe}}
179
180
181
182 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}