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Version 65.1 von Martina Wagner am 2025/11/25 14:28
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Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5
Martina Wagner 4.1 6 {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 2.1 7 Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
8
9 ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
11 ☐ Addieren von x auf beiden Seiten
12 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
13 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
14 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
15 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
16 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
17 ☐ Dividieren beider Seiten durch x
Holger Engels 1.1 18 {{/aufgabe}}
19
Martina Wagner 4.1 20 {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
Martina Wagner 58.1 21 Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
Holger Engels 2.1 22 (%class="abc"%)
23 1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
Ansgar Wasmer 14.1 25 1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
Ansgar Wasmer 16.1 26 1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
Holger Engels 2.1 27 {{/aufgabe}}
28
Martina Wagner 4.1 29 {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 2.1 30 Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
31
32 {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
33 {{/aufgabe}}
34
Martina Wagner 58.2 35 {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
akukin 7.1 36 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
37
38 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
Holger Engels 9.2 39 |= Gleichung |= Lösungsmenge
akukin 7.1 40 | 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
41 | 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
Stephanie Wietzorek 19.1 42 | 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
43 | 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
44 | 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
45 | 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
46 | 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
47 | 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
48 | 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
akukin 7.1 49 {{/aufgabe}}
50
Martina Wagner 60.1 51 {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
Stephanie Wietzorek 41.1 52 Es ist folgende Gleichung gegeben:
53
Stephanie Wietzorek 42.1 54 {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
Stephanie Wietzorek 41.1 55
Stephanie Wietzorek 42.1 56 Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
Stephanie Wietzorek 41.1 57 {{/aufgabe}}
58
Martina Wagner 58.2 59 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
Martina Wagner 12.1 60
Martina Wagner 11.1 61 Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
akukin 9.1 62 {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
63
64 ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
Holger Engels 9.2 65 ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
akukin 9.1 66 ☐ {{formula}}x{{/formula}} ist dreimal so groß wie {{formula}}y{{/formula}}, weil 4 – 1 = 3.
Holger Engels 9.2 67 ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
akukin 9.1 68 {{/aufgabe}}
69
Stephanie Wietzorek 21.2 70 {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Stephanie Wietzorek 20.1 71 Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
72 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
73 |= Bruch |= Definitionsmenge
Stephanie Wietzorek 44.1 74 | 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
Stephanie Wietzorek 20.1 75 | 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
76 | 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
77 | 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
78 | 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
79 {{/aufgabe}}
80
Stephanie Wietzorek 28.2 81 {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Stephanie Wietzorek 21.2 82 Finde den Hauptnenner folgender Brüche
Stephanie Wietzorek 22.2 83 (%class="123"%)
84
Stephanie Wietzorek 43.1 85 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
86 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
87 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
88 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
89 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
Stephanie Wietzorek 21.2 90 {{/aufgabe}}
91
Martina Wagner 62.1 92 {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Stephanie Wietzorek 22.2 93 (%class="123"%)
94 Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
95
96 1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
Stephanie Wietzorek 24.1 97 1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
Stephanie Wietzorek 22.2 98 {{/aufgabe}}
99
Martina Wagner 62.1 100 {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Martina Wagner 65.1 101 Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
Martina Wagner 62.1 102
103 Azra
Stephanie Wietzorek 25.2 104 {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
Martina Wagner 62.1 105 {{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 Alex
107 {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
Martina Wagner 64.1 108 {{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
Stephanie Wietzorek 25.3 109 {{/aufgabe}}
Stephanie Wietzorek 25.2 110
Martina Wagner 62.1 111 {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Stephanie Wietzorek 28.1 112 Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
113 (%class="123"%)
114 1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
115 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
116 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
117 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
118 1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
119 {{/aufgabe}}
120
Stephanie Wietzorek 30.1 121 {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Stephanie Wietzorek 28.2 122 Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
123 ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
124 ◦ keine bzw.
125 ◦ unendlich viele Lösungen
126 besitzt.
127
Stephanie Wietzorek 30.1 128 {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
Stephanie Wietzorek 28.2 129
130 {{/aufgabe}}
131
Stephanie Wietzorek 54.1 132 {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Stephanie Wietzorek 49.1 133 Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
134 {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
135 {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
136 {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
137 (%class="abc"%)
Stephanie Wietzorek 51.1 138 1. Forme die Formel nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} um.
Stephanie Wietzorek 53.1 139 1. Wie müsste man die Formel abändern, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden? Gib hierzu eine Formel an.
Stephanie Wietzorek 50.1 140 {{/aufgabe}}
Stephanie Wietzorek 49.1 141
Stephanie Wietzorek 31.1 142 {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
143 Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
144 Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
145 {{/aufgabe}}
146
Stephanie Wietzorek 34.1 147 {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
148 Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
Stephanie Wietzorek 35.1 149 [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
Stephanie Wietzorek 34.1 150 (%class="abc"%)
151 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
152 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
153 1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
154 1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
155 {{/aufgabe}}
156
Stephanie Wietzorek 56.1 157 {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
Stephanie Wietzorek 37.1 158 Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
159 In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
160 In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
Stephanie Wietzorek 38.1 161 (%class="abc"%)
Stephanie Wietzorek 39.1 162 1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
163 1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
164 1. Erläutere, warum sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
Stephanie Wietzorek 37.1 165 {{/aufgabe}}
166
Holger Engels 1.1 167 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
168