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Version 65.1 von Martina Wagner am 2025/11/25 14:28
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5
6 {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
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9 ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
11 ☐ Addieren von x auf beiden Seiten
12 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl ungleich 0
13 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Zahl
14 ☐ Multiplizieren beider Seiten mit x
15 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null
16 ☐ Dividieren beider Seiten durch eine beliebige Zahl
17 ☐ Dividieren beider Seiten durch x
18 {{/aufgabe}}
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20 {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 (%class="abc"%)
23 1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
25 1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
26 1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
30 Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
31
32 {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
33 {{/aufgabe}}
34
35 {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
36 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
37
38 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
39 |= Gleichung |= Lösungsmenge
40 | 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
41 | 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
42 | 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
43 | 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
44 | 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
45 | 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
46 | 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
47 | 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
48 | 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
49 {{/aufgabe}}
50
51 {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
52 Es ist folgende Gleichung gegeben:
53
54 {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
55
56 Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
57 {{/aufgabe}}
58
59 {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
60
61 Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
62 {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
63
64 ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
65 ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
66 ☐ {{formula}}x{{/formula}} ist dreimal so groß wie {{formula}}y{{/formula}}, weil 4 – 1 = 3.
67 ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
68 {{/aufgabe}}
69
70 {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
71 Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
72 (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
73 |= Bruch |= Definitionsmenge
74 | 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
75 | 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
76 | 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
77 | 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
78 | 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
82 Finde den Hauptnenner folgender Brüche
83 (%class="123"%)
84
85 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
86 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
87 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
88 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
89 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
90 {{/aufgabe}}
91
92 {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
93 (%class="123"%)
94 Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
95
96 1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
97 1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
98 {{/aufgabe}}
99
100 {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
102
103 Azra
104 {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
105 {{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 Alex
107 {{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
108 {{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
109 {{/aufgabe}}
110
111 {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
112 Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
113 (%class="123"%)
114 1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
115 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
116 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
117 1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
118 1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
119 {{/aufgabe}}
120
121 {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
122 Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
123 ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
124 ◦ keine bzw.
125 ◦ unendlich viele Lösungen
126 besitzt.
127
128 {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
129
130 {{/aufgabe}}
131
132 {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133 Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
134 {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
135 {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
136 {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
137 (%class="abc"%)
138 1. Forme die Formel nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} um.
139 1. Wie müsste man die Formel abändern, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden? Gib hierzu eine Formel an.
140 {{/aufgabe}}
141
142 {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
143 Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
144 Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
145 {{/aufgabe}}
146
147 {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
148 Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
149 [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
150 (%class="abc"%)
151 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
152 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
153 1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
154 1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
155 {{/aufgabe}}
156
157 {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
158 Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
159 In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
160 In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
161 (%class="abc"%)
162 1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
163 1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
164 1. Erläutere, warum sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
165 {{/aufgabe}}
166
167 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}