Lösung Problemlösen

Vorbemerkung:
Die jeweils längsten Seiten der Figuren sind gleich groß. Dies wird hergeleitet über rechtwinklige Hilfsdreiecke und dem Kongruenzsatz für Dreiecke sws:

Zur Untersuchung der beiden Vierecke 8a und 8b betrachtet man ihre Struktur im Raster.
Eine geeignete Methode besteht darin, jedes Viereck durch eine seiner Diagonalen in zwei
Dreiecke zu zerlegen. Verbindet man in beiden Figuren dieselben beiden gegenüberliegenden
Ecken, so entstehen in 8a und in 8b zwei Dreiecke, deren Seitenlängen und Winkel – anhand
der Rasterpunkte – übereinstimmen. Die Dreiecke sind daher paarweise kongruent.

Wählt man die zweite mögliche Diagonale, so erhält man erneut zwei Dreiecke, die in 8a und
8b jeweils dieselben Seiten- und Winkelverhältnisse besitzen. Auch diese Zerlegung zeigt,
dass die entsprechenden Dreiecke kongruent sind.

Da beide Vierecke bei beiden möglichen Zerlegungen in dieselben Paare kongruenter Dreiecke
zerfallen und die Anordnung dieser Teilfiguren übereinstimmt, folgt, dass die Vierecke 8a
und 8b kongruent sind. Sie besitzen dieselbe Form und Größe, unterscheiden sich jedoch in
ihrer Lage im Raster.

Lösung zu Aufgabe 2

Um ein Viereck zu konstruieren, das nicht zu 8a und 8b kongruent ist, verwendet man die zwei
Dreiecke, die bei der Zerlegung der ursprünglichen Vierecke auftreten. Man zeichnet zunächst
das erste dieser Dreiecke wie in 8a oder 8b. Das zweite Dreieck wird kongruent dazu gezeichnet,
jedoch in einer anderen Lage: beispielsweise gedreht oder gespiegelt oder an einer anderen
gemeinsamen Seite angesetzt. Werden diese beiden Dreiecke so zusammengefügt, dass sie ein
Viereck bilden, so entsteht eine Figur, die dieselben Teil-Dreiecke wie 8a und 8b enthält,
aber insgesamt eine andere äußere Form besitzt.

Die Nicht-Kongruenz lässt sich daran erkennen, dass die Lagebeziehung der beiden Dreiecke in
der neuen Figur nicht derjenigen in 8a und 8b entspricht. Obwohl eine der Diagonalen wieder
die beiden bekannten Dreiecke liefert, entsteht bei der anderen Diagonale ein Dreieckspaar,
das nicht zu den Zerlegungsdreiecken von 8a und 8b kongruent ist. Damit ist das neue Viereck
nicht kongruent zu den beiden gegebenen Vierecken, obwohl es aus denselben Dreiecken
zusammengesetzt wurde.