BPE 6.1 Ähnlichkeit, speziell bei Dreiecken

1  Dreiecke zeichnen  (20 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Dreiecke ABC und DEF mit folgenden Angaben:
AB=6cm, BC=9cm, AC=7,5cm 

DE=8cm, EF=12cm, DF=10cm

1. Zeichne die Dreiecke maßstabsgetreu mit den angegebenen Seitenlängen.
2. Vergleiche die Form beider Dreiecke: was fällt dir auf? Wie zeigt sich die Ähnlichkeit zeichnerisch?
3. Prüfe rechnerisch, ob die Dreiecke ähnlich sind. Gib an, welche Ähnichkeitsregel (SWS, WSW, SSS) du verwendest.
4. Berechne den Ähnlichkeitsfaktor k.
5. Erkläre in eigenen Worten, wann zwei Dreiecke ähnlich sind.

2  Zoomen von Bildern  (20 min) 𝕃

Lara fotografiert die Osterdeko im Garten. Sie möchte ein Poster eines Ostereis drucken und aufhängen. Nach dem Zoomen sieht ihr Bild jedoch komisch aus.

1. Erkläre die Veränderung von Bild 1 zu Bild 2
2. überlege und erläutere mathematisch, warum das Zoomen so nicht klappt.
3. erläutere, wie Lara hätte vorgehen müssen.

3  Vergrößerung von Fotos  (k.A.) 𝕃

Jonas möchte ein altes Familienfoto digital restaurieren und vergrößern. Das Originalfoto hat die Maße 12cm x 8cm. Für eine Ausstellung soll es als Poster mit einer Höhe von 60cm gedruckt werden. Beim ersten Versuch gibt Jonas in der Drucksoftware versehntlich nur die neue Höhe ein; die Software behält die Breite des Originals bei.

1. Erkläre anschaulich, was mit dem Bild passiert, wenn nur die Höhe geändert wird, nicht aber die Breite.
2. Berechne die korrekte Breite, die das Poster haben müsste, damit das Seitenverhältnis erhalten bleibt.
3. Jonas möchte zusätzlich einen weißen Rand von 5cm rund um das Foto haben. Berechne die Gesamtgröße des Posters inklusive Rand.
4. Formuliere einen mathematischen Zusammenhang (z.B. mit einer Gleichung oder einem Verhältnis), der beschreibt, wann zwei Rechtecke ähnlich sind. Wende diesen Zusammenhang auf das Beispiel an und überprüfe, ob Jonas´erstes Poster (bei dem nur die Höhe geändert wurde) diesem Kriterium entspricht.

4  Das Rätsel der Schatten Dreiecke  (20 min) 𝕃

An einem sonnigen Nachmittag beobachtet Mila, wie ihr Freund Tom neben einem Baum steht. Mila bemerkt: Sowohl Tom als auch der Baum werfen gerade Schatten, und die Spitzen ihrer Schatten liegen auf einer geraden Linie mit den jeweiligen Köpfen. Sie möchte die Höhe des Baumes berechnen.
Gegeben:
• Toms Körpergröße: 1,60 m
• Toms Schattenlänge: 2,00 m
• Schattenlänge des Baumes: 8,50 m
Gesucht: Die Höhe des Baumes.

Teilaufgaben:

1. Zeichne eine Skizze, die beide Situationen zeigt (Tom und Baum mit Schatten).
2. Erkläre, warum die beiden Dreiecke ähnlich sind.
3. Berechne mit einem Verhältnis die Höhe des Baumes.
4. Wenn Toms Schatten 2,4 m lang wäre, wie hoch müsste der Baum dann sein, damit die Ähnlichkeit der Dreiecke erhalten bleibt? Erläutere dein Vorgehen.

5  Verhältnisse untersuchen  (20 min) 𝕋  𝕃

Ordne zu, ob es sich um eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung handelt:

Verhältnis     Vergrößerung     Verkleinerung
1 : 3  
3 : 2  
4 : 5  
2 : 3  
5 : 1  
1 : 2  
7 : 4  
4 : 7  
10 : 8  
8 : 10  

b) Ermittle eine allgemeingültige Regel, die die Vergrößerung und die Verkleinerung kennzeichnet.