BPE 7.2 Quadratische Gleichungen

Zuletzt geändert von akukin am 2025/07/11 16:35

Inhalt

AFB I Quadratische Gleichungen Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen Leos Lösung
AFB II Wo ist der Fehler? Entscheiden für den effektiven Lösungsweg
AFB III Vielfachheit von Lösungen Richtig oder falsch

K5 Ich kann verschiedenartige quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren lösen.
K5 Ich kann die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen untersuchen.

Aufgabe 1 Wo ist der Fehler? 𝕃

Wo ist der Fehler?

$\begin{align} (x+2)^2 = 4 &\Leftrightarrow x^2 + 4 = 4 \\ &\Leftrightarrow x^2 =0\\ &\Leftrightarrow x=0 \end{align}$

#mathebrücke

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 2 min
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Aufgabe 2 Quadratische Gleichungen 𝕃

Berechne die Lösungsmenge in $G = \mathbb{R}$ .

Aufgaben mit Lösungsformel:

1.a) 2x^2 + 3x - 2 = 0
1.b) -x^2 - 2x + 3 = 0

2.a) x^2 - 12x + 36 = 0
2.b) x^2 - 10x + 25 = 0

3.a) 9x^2 - 6x + 2 = 0
3.b) x^2 - 2x + 3 = 0

Gleichung: $ax^2 + bx + c = 0; a \neq 0$
Jede quadratische Gleichung kann mit dieser Formel gelöst werden:
Lösungsformel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$
Diskriminante: D = b^2 - 4ac

Sonderfälle:

4.a) 2x^2 - 24 = 0
4.b) 0,5x^2 - 4,5 = 0

5.a) $3 \cdot (x - 0,5) \cdot (0,75 + x) = 0$
5.b) $1,5 \cdot (2x + 4) \cdot (3 - 0,5x) = 0$

6.a) 0,5x^2 - 0,75x = 0
6.b) -5x^2 + x = 0

Merke:
Anzahl der Lösungen:
1) Wenn D > 0 gilt, dann gibt es genau zwei Lösungen.
2) Wenn D = 0 gilt, dann gibt es genau eine Lösung.
3) Wenn D < 0 gilt, dann gibt es keine Lösung.
Sonderfälle:
mit zusätzlichen, besonderen Lösungswegen
4) b=0 , also $\mathbf{ax^2 + c = 0}$
(„Reinquadratische Gleichung“):
Nach x^2 auflösen und Wurzel ziehen.
5) Produktform, also $\mathbf{a(x-x_1)(x-x_2) = 0}$
(„Satz vom Nullprodukt“):
Jeden Faktor einzeln gleich Null setzen.
6) c = 0 , also $\mathbf{ax^2 + bx = 0}$
Ausklammern:
Höchste gemeinsame Potenz von ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Jede Aufgabe kann auch mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden (siehe Stolpersteine).

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AFB I	Kompetenzen k.A.	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 3 Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen 𝕃

Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein.

Gleichung	Auswahlmöglichkeiten	Lösungsfeld
1)	a) -3 b) 3 c) keine Lösung
2)	a) -0,5 b) 0 c) 0,5
3)	a) 1 b) 0 c) 4
4)	a) -2 b) 2 c)-1,5
5)	a) -2,4 b) -1 c) 1
6) $\frac{5}{x-1} - x = -x + 1$	a) 1 b) 6 c) keine Lösung

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AFB I	Kompetenzen k.A.	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 4 Leos Lösung 𝕃

Die Gleichung $\frac{2}{x-1}+2=\frac{6-2x}{x^2-1}$ war als Hausaufgabe zu lösen.
Leo behauptet: $\text{L}=\{-3;1\}$
Was hältst du von seiner Lösung?

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AFB I	Kompetenzen k.A.	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 5 Vielfachheit von Lösungen 𝕃

Für welche Werte von besitzt die Gleichung
x^2 - 2x + a = 0
zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung?

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AFB III	Kompetenzen k.A.	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 6 Entscheiden für den effektiven Lösungsweg 𝕃

Kreuze bei den nachfolgenden Aufgaben an, welcher Rechenweg der effektivste ist.

	abc-Formel bzw. pq-Formel	Ausklammern und Satz vom Nullprodukt	isolieren und Wurzel ziehen
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Bestimme jeweils die Lösungsmenge in $G=\mathbb{R}$ .

#mathebrücke

AFB II	Kompetenzen k.A.	Bearbeitungszeit k.A.
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Aufgabe 7 Richtig oder falsch 𝕃

Sind folgende Umformungen von Zeile zu Zeile richtig?
Begründe, wenn die Umformung falsch ist.

Terme und Gleichungen:	richtig	falsch
1. $\frac{1}{2} (x + 3) \quad \mid \cdot 2$	☐	☐
2. $\frac{5}{2} = (x + 3)(x + 4) \quad \mid \cdot 2$	☐ ☐	☐ ☐
3. $-\frac{3}{2}x + a + x = \frac{5}{2}$ $- \frac{1}{2}x + a = \frac{5}{2} \quad \mid \cdot 2$	☐ ☐	☐ ☐
4.	☐	☐