BPE 7.2 Quadratische Gleichungen
Inhalt
K5 Ich kann verschiedenartige quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren lösen.
K5 Ich kann die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen untersuchen.
Aufgabe 1 Wo ist der Fehler? 𝕃
Wo ist der Fehler?
| AFB II | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 2 min |
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Aufgabe 2 Quadratische Gleichungen 𝕃
Berechne die Lösungsmenge in \(G = \mathbb{R}\).
Aufgaben mit Lösungsformel:
1.a) \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)
1.b) \(-x^2 - 2x + 3 = 0\)
2.a) \(x^2 - 12x + 36 = 0\)
2.b) \(x^2 - 10x + 25 = 0\)
3.a) \(9x^2 - 6x + 2 = 0\)
3.b) \(x^2 - 2x + 3 = 0\)
Gleichung: \(ax^2 + bx + c = 0; a \neq 0\)
Jede quadratische Gleichung kann mit dieser Formel gelöst werden:
Lösungsformel: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}\)
Diskriminante: \(D = b^2 - 4ac\)
Sonderfälle:
4.a) \(2x^2 - 24 = 0\)
4.b) \(0,5x^2 - 4,5 = 0\)
5.a) \(3 \cdot (x - 0,5) \cdot (0,75 + x) = 0\)
5.b) \(1,5 \cdot (2x + 4) \cdot (3 - 0,5x) = 0\)
6.a) \(0,5x^2 - 0,75x = 0\)
6.b) \(-5x^2 + x = 0\)
Merke:
Anzahl der Lösungen:
1) Wenn \(D > 0\) gilt, dann gibt es genau zwei Lösungen.
2) Wenn \(D = 0\) gilt, dann gibt es genau eine Lösung.
3) Wenn \(D < 0 \) gilt, dann gibt es keine Lösung.
Sonderfälle:
mit zusätzlichen, besonderen Lösungswegen
4) \(b=0\), also \(\mathbf{ax^2 + c = 0}\)
(„Reinquadratische Gleichung“):
Nach \(x^2\) auflösen und Wurzel ziehen.
5) Produktform, also \(\mathbf{a(x-x_1)(x-x_2) = 0}\)
(„Satz vom Nullprodukt“):
Jeden Faktor einzeln gleich Null setzen.
6) \(c = 0\), also \(\mathbf{ax^2 + bx = 0}\)
Ausklammern:
Höchste gemeinsame Potenz von \(x\) ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Jede Aufgabe kann auch mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden (siehe Stolpersteine).
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Aufgabe 3 Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen 𝕃
Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein.
| Gleichung | Auswahlmöglichkeiten | Lösungsfeld |
|---|---|---|
| 1) \(3x^2 + 27 = 0\) | a) -3 b) 3 c) keine Lösung | |
| 2) \(6x^2 - 3x = 0\) | a) -0,5 b) 0 c) 0,5 | |
| 3) \(2(x - 1)(x - 4) = 0\) | a) 1 b) 0 c) 4 | |
| 4) \(2x^2 - x - 6 = 0\) | a) -2 b) 2 c)-1,5 | |
| 5) \(-3x(x+1)+4 = 2(x^2 + 2x - 4)\) | a) -2,4 b) -1 c) 1 | |
| 6) \(\frac{5}{x-1} - x = -x + 1\) | a) 1 b) 6 c) keine Lösung |
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Aufgabe 4 Leos Lösung 𝕃
Die Gleichung \(\frac{2}{x-1}+2=\frac{6-2x}{x^2-1}\) war als Hausaufgabe zu lösen.
Leo behauptet: \(\text{L}=\{-3;1\}\)
Was hältst du von seiner Lösung?
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Aufgabe 5 Vielfachheit von Lösungen 𝕃
Für welche Werte von \(a\) besitzt die Gleichung
\(x^2 - 2x + a = 0\)
zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung?
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Aufgabe 6 Entscheiden für den effektiven Lösungsweg 𝕃
- Kreuze bei den nachfolgenden Aufgaben an, welcher Rechenweg der effektivste ist.
| abc-Formel bzw. pq-Formel | Ausklammern und Satz vom Nullprodukt | \(x^2\) isolieren und Wurzel ziehen | ||
| a) | \(x^2 + 2x - 3 = 0\) | |||
| b) | \(4x^2 - 3 = 5\) | |||
| c) | \(2x^2 - x = 0\) | |||
| d) | \(5x - 14 = -x^2\) | |||
| e) | \(4x^2 = x^2\) | |||
| f) | \(2x - 8x^2 = -3\) | |||
| g) | \(4x(x - 3) = 0\) | |||
| h) | \((x - 3)4x = 7\) |
- Bestimme jeweils die Lösungsmenge in \(G=\mathbb{R}\).
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Aufgabe 7 Richtig oder falsch 𝕃
Sind folgende Umformungen von Zeile zu Zeile richtig?
Begründe, wenn die Umformung falsch ist.
| Terme und Gleichungen: | richtig | falsch | Begründung |
|---|---|---|---|
| 1. \(\frac{1}{2} (x + 3) \quad \mid \cdot 2 \) \(= x + 3\) | ☐ | ☐ | |
| 2. \(\frac{5}{2} = (x + 3)(x + 4) \quad \mid \cdot 2\) \(5 = (2x + 6)(2x + 8)\) \(5 = 4x^2 + 16x + 12x + 48\) | ☐ ☐ | ☐ ☐ | |
| 3. \(-\frac{3}{2}x + a + x = \frac{5}{2}\) \(- \frac{1}{2}x + a = \frac{5}{2} \quad \mid \cdot 2\) \(-x + a = 5\) | ☐ ☐ | ☐ ☐ | |
| 4. \((-x + a)^2\) \(= a^2 - 2ax + x^2\) | ☐ | ☐ |
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Aufgabe 8 Richtig oder falsch? 𝕃
Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.
Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung?
\(x^2 + 9 = 0\)
☐ Eine Lösung: \(x = -3\), da \(-3^2 = -9\)
☐ Zwei Lösungen: \(x_1 = 3, \ x_2 = -3\), da beides zum Quadrat \(-9\) ergibt
☐ Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
☐ Keine Lösung, da man die Wurzel aus Null nicht ziehen kann.
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Kompetenzmatrix und Seitenreflexion
| K1 | K2 | K3 | K4 | K5 | K6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| II | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| III | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Abdeckung Bildungsplan | ||
|---|---|---|
| Abdeckung Kompetenzen | ||
| Abdeckung Anforderungsbereiche | ||
| Eignung gemäß Kriterien | ||
| Umfang gemäß Mengengerüst |