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Version 10.1 von akukin am 2025/07/11 14:07
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
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Holger Engels 2.2 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann verschiedenartige quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren lösen.
Holger Engels 1.1 4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen untersuchen.
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akukin 4.1 6 {{aufgabe id="Wo ist der Fehler?" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team Mathebrücke" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
akukin 3.1 7 Wo ist der Fehler?
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9 {{formula}}
10 \begin{align}
11 (x+2)^2 = 4 &\Leftrightarrow x^2 + 4 = 4 \\
12 &\Leftrightarrow x^2 =0\\
13 &\Leftrightarrow x=0
14 \end{align}
15 {{/formula}}
16
Holger Engels 1.1 17 {{/aufgabe}}
18
akukin 4.1 19 {{aufgabe id="Quadratische Gleichungen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
20 Berechne die Lösungsmenge in {{formula}}G = \mathbb{R}{{/formula}}.
21
22 **Aufgaben mit Lösungsformel:**
23
24 1.a) {{formula}}2x^2 + 3x - 2 = 0{{/formula}}
25 1.b) {{formula}}-x^2 - 2x + 3 = 0{{/formula}}
26
27 2.a) {{formula}}x^2 - 12x + 36 = 0{{/formula}}
28 2.b) {{formula}}x^2 - 10x + 25 = 0{{/formula}}
29
30 3.a) {{formula}}9x^2 - 6x + 2 = 0{{/formula}}
31 3.b) {{formula}}x^2 - 2x + 3 = 0{{/formula}}
32
33 (% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)
34 **Gleichung:** {{formula}}ax^2 + bx + c = 0; a \neq 0{{/formula}}
35 Jede quadratische Gleichung kann mit dieser Formel gelöst werden:
akukin 5.1 36 **Lösungsformel:** {{formula}}x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}{{/formula}}
akukin 4.1 37 **Diskriminante:** {{formula}}D = b^2 - 4ac{{/formula}}
38
39 **Sonderfälle:**
40
41 4.a) {{formula}}2x^2 - 24 = 0{{/formula}}
42 4.b) {{formula}}0,5x^2 - 4,5 = 0{{/formula}}
43
44 5.a) {{formula}}3 \cdot (x - 0,5) \cdot (0,75 + x) = 0{{/formula}}
45 5.b) {{formula}}1,5 \cdot (2x + 4) \cdot (3 - 0,5x) = 0{{/formula}}
46
47 6.a) {{formula}}0,5x^2 - 0,75x = 0{{/formula}}
48 6.b) {{formula}}-5x^2 + x = 0{{/formula}}
49
50 (% class="box" style="border: 2px solid black; background: white; padding: 10px; margin: 10px 0;" %)
51 (((**Merke:**
52 **Anzahl der Lösungen:**
53 1) Wenn {{formula}}D > 0{{/formula}} gilt, dann gibt es genau zwei Lösungen.
54 2) Wenn {{formula}}D = 0{{/formula}} gilt, dann gibt es genau eine Lösung.
55 3) Wenn {{formula}}D < 0 {{/formula}} gilt, dann gibt es keine Lösung.
56 **Sonderfälle:**
57 //mit zusätzlichen, besonderen Lösungswegen//
58 4) {{formula}}b=0{{/formula}}, also {{formula}}\mathbf{ax^2 + c = 0}{{/formula}}
59 („Reinquadratische Gleichung“):
60 Nach {{formula}}x^2{{/formula}} auflösen und Wurzel ziehen.
akukin 5.1 61 5) Produktform, also {{formula}}\mathbf{a(x-x_1)(x-x_2) = 0}{{/formula}}
akukin 4.1 62 („Satz vom Nullprodukt“):
63 Jeden Faktor einzeln gleich Null setzen.
akukin 5.1 64 6) {{formula}}c = 0{{/formula}}, also {{formula}}\mathbf{ax^2 + bx = 0}{{/formula}}
akukin 4.1 65 Ausklammern:
66 Höchste gemeinsame Potenz von {{formula}}x{{/formula}} ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.)))
67
68 Jede Aufgabe kann auch mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden (siehe Stolpersteine).
69
70 {{/aufgabe}}
71
akukin 6.1 72 {{aufgabe id="Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73 Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein.
74
75 (% style="white-space: nowrap" class="border" %)
76 |=Gleichung|=Auswahlmöglichkeiten|=Lösungsfeld
77 |1) {{formula}}3x^2 + 27 = 0{{/formula}}|a) -3 \\b) 3\\c) keine Lösung|
78 |2) {{formula}}6x^2 - 3x = 0{{/formula}}|a) -0,5\\b) 0\\c) 0,5|
79 |3) {{formula}}2(x - 1)(x - 4) = 0{{/formula}}|a) 1\\b) 0\\c) 4|
akukin 6.2 80 |4) {{formula}}2x^2 - x - 6 = 0{{/formula}}|a) -2\\b) 2\\c)-1,5|
akukin 6.1 81 |5) {{formula}}-3x(x+1)+4 = 2(x^2 + 2x - 4){{/formula}}|a) -2,4\\b) -1\\c) 1|
82 |6) {{formula}}\frac{5}{x-1} - x = -x + 1{{/formula}}|a) 1 \\b) 6 \\c) keine Lösung|
83
84 {{/aufgabe}}
85
akukin 7.1 86 {{aufgabe id="Leos Lösung" afb="I" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
87 Die Gleichung {{formula}}\frac{2}{x-1}+2=\frac{6-2x}{x^2-1}{{/formula}} war als Hausaufgabe zu lösen.
88 Leo behauptet: {{formula}}\text{L}=\{-3;1\}{{/formula}}
89 Was hältst du von seiner Lösung?
90
91 {{/aufgabe}}
92
akukin 8.1 93 {{aufgabe id="Vielfachheit von Lösungen" afb="III" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
akukin 8.2 94 Für welche Werte von {{formula}}a{{/formula}} besitzt die Gleichung
akukin 8.1 95 {{formula}}x^2 - 2x + a = 0{{/formula}}
96 zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung?
97
98 {{/aufgabe}}
99
akukin 10.1 100 {{aufgabe id="Entscheiden für den effektiven Lösungsweg" afb="II" kompetenzen="" quelle="Team Mathebrücke" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
akukin 9.1 101 (%class=abc%)
102 1. Kreuze bei den nachfolgenden Aufgaben an, welcher Rechenweg der effektivste ist.
103 (%class=border%)
104 |||abc-Formel \\bzw. \\pq-Formel |Ausklammern\\und Satz vom\\Nullprodukt|{{formula}}x^2{{/formula}} isolieren\\und Wurzel\\ziehen
105 |a)|{{formula}}x^2 + 2x - 3 = 0{{/formula}}|||
106 |b)|{{formula}}4x^2 - 3 = 5{{/formula}}|||
107 |c)|{{formula}}2x^2 - x = 0{{/formula}}|||
108 |d)|{{formula}}5x - 14 = -x^2{{/formula}}|||
109 |e)|{{formula}}4x^2 = x^2{{/formula}}|||
110 |f)|{{formula}}2x - 8x^2 = -3{{/formula}}|||
111 |g)|{{formula}}4x(x - 3) = 0{{/formula}}|||
112 |h)|{{formula}}(x - 3)4x = 7{{/formula}}|||
113 (%class=abc start="2" %)
114 1. Bestimme jeweils die Lösungsmenge in {{formula}}G=\mathbb{R}{{/formula}}.
115 {{/aufgabe}}
116
Holger Engels 1.1 117 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
118