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Lösung Sekante, Tangente, Passante in Abhängigkeit von t

Zuletzt geändert von akukin am 2025/06/05 16:31

Lösung mit der pq-Formel:

\begin{align*} &tx^2 - 2 = 0,5x + 1 \\ &tx^2 - 0,5x - 3 = 0 \quad |\, :t \neq 0 \\ &x^2 - \frac{1}{2t}x - \frac{3}{t} = 0 \\ &x_{1/2} = \frac{1}{4t} \pm \sqrt{\frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t}} \end{align*}

\begin{align*} D=0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &= 0 \iff t = -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Tangente} \\ D>0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &> 0 \iff t > -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Sekante} \\ D<0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &< 0 \iff t < -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Passante} \end{align*}

Überprüfung für t = 0 nötig, da die obige Rechnung unter der Annahme t\neq 0 durchgeführt wurde:
Aus t>-\frac{1}{48} folgt, dass bei t = 0 ein Schnittpunkt vorliegt. Allerdings handelt es sich nicht mehr um Schnittpunkte einer Parabel und einer Gerade, sondern um einen Schnittpunkt zweier Geraden.

Lösung mit der abc-Formel(Mitternachtsformel):

\begin{align*} &tx^2 - 0,5x - 3 = 0 \\ &x_{1/2} = \frac{-(-0,5) \pm \sqrt{(0,5)^2 - 4 \cdot t \cdot (-3)}}{2t} \\ &x_{1/2} = \frac{0,5 \pm \sqrt{0,25 + 12t}}{2t} \end{align*}

\begin{align*} D=0: 0,25 + 12t &= 0 \iff t = -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Tangente} \\ D>0: 0,25 + 12t &> 0 \iff t > -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Sekante} \\ D<0: 0,25 + 12t &< 0 \iff t < -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Passante} \end{align*}

\end{document}