BPE 8.2 Normalparabel und Parametrisierung

Aufgabe 1  Normalparabel 𝕃

1. Gegeben ist eine Wertetabelle der Normalparabel. Finde die Fehler und korrigiere sie.

   x	1	1,3	1,5	2,5	8	22	70
   y	1	2,6	2,25	6,25	64	440	490

2. Gegeben ist eine Wertetabelle der Normalparabel. Vervollständige sie.

   x	\(-\sqrt{3}\)		1,5	2,5	8	22	70
   y		\(\frac{1}{16}\)	2,25	6,25	64	440	490

Aufgabe 2  Basiswechsel verstehen

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=2^x\). Gib die Funktionsgleichung in der Form \(f(x)=4^{kx}\) mit geeignetem \(k\) an.

Aufgabe 3  Basiswechsel

Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

1. \(f(x)=(\frac{1}{4})^x\), neue Basis \(b=2\)
2. \(f(x)=9^x\), neue Basis \(b=\frac{1}{3}\)
3. \(f(x)=5^{2x+1}\), neue Basis \(b=25\)

Aufgabe 4  Eulersche Zahl

Gegeben sind folgende Zahlterme:
\(a_1=2\)
\(a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}\)
\(a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\)
\(a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\)

1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster für \( a_5, a_6\) fort und berechne die beiden Werte.
2. Die Eulersche Zahl \( e\) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e\) so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

Aufgabe 5  Eulersche Zahl als besondere Basis

Gegeben sind die Exponentialfunktionen \(f_q\) mit \(f_q(x)=q^x\) für \(q\in \{2;\,e;\,3\}\).

1. Berechne für jedes \(q\in\{2;\,e;\,3\}\) die Steigung der Geraden durch die Punkte \(P\bigl(0\mid f_q(0)\bigr)\) und \(Q\bigl(0{,}01\mid f_q(0{,}01)\bigr)\).
2. Vergleiche die numerischen Werte und beantworte: Was fällt dir beim Fall \(q=e\) besonders auf?