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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,172 +1,195 @@
1 +{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
2 +[[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%.
1 1  
2 -{{aufgabe id="Skate-Rampe" afb="" zeit="" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc=""}}
3 -Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe.
4 +Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich)
4 4  
5 -[[image:Skate-Rampe.PNG||width="450"]]
6 -(% style="font-size: 0.8em;" %)**Abb.: Skate-Rampe** (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). //„Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39)//. Braunschweig: Westermann Verlag.)
6 +(% style="text-align: right" %)
7 +,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],,
8 +{{/aufgabe}}
7 7  
8 -Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^) abzuschätzen.
10 +{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
11 +Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
9 9  
10 -{{lehrende}}
11 -**Variante:** Offene Aufgabe für den Unterricht/für einen größeren Klassenarbeitsteil
12 -Wie schwer wäre sie, wenn man sie massiv aus Beton gießen würde?
13 -**Information:** Die Dichte von Beton liegt zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^
14 -{{/lehrende}}
15 -{{/aufgabe}}
13 +Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
16 16  
15 +Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
17 17  
18 -{{aufgabe id="Spielzeug-Holzbrücke Symmetrie" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/erhoeht/2021_M_erhoeht_B_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
19 -Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.
17 +[[image:x hoch minus 2.png]]
18 +{{/aufgabe}}
20 20  
21 -[[image:SpielzeugHolzbrücke.png||width="750"]]
20 +{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
21 +[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
22 22  
23 -Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1{{/formula}} beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
23 +So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
24 24  
25 -Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion {{formula}}g_l{{/formula}} und für das rechte Bauteil eine Funktion {{formula}}g_r{{/formula}} infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.
25 +Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
26 +{{/aufgabe}}
26 26  
27 -1. Beurteile jede der folgenden Aussagen:
28 -I: {{formula}}-g_l(x)=g_r(-x){{/formula}} für {{formula}}-2\leq x \leq -1{{/formula}}
29 -II: {{formula}}g_l(x-1)=g_r(-x+1){{/formula}} für {{formula}}-1\leq x\leq 0{{/formula}}
28 +{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
29 +[[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
30 30  
31 -Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5}{{/formula}} beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.
31 +(% style="list-style: alphastyle" %)
32 +1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//.
33 +1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
32 32  
33 -[[image:SpielzeugHolzbrückegesägt.png||width="750"]]
35 +{{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}}
36 +
37 +ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist.
34 34  )))
35 -(% style="list-style:" start="2" %)
36 -1. Der Graph von {{formula}}k{{/formula}} ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der 2. Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt.
37 -1. Ermittle mithilfe des Funktionsterms von {{formula}}k{{/formula}} den Flächeninhalt der gesamten in der 2. Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.
39 +1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.
40 +
41 +(Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 -{{aufgabe id="Funktionsschar Graph" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
41 -Betrachtet wird die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}, \ a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}}. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} besitzt die Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} genau eine Extremstelle.
44 +{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
45 +Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
42 42  
43 -1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft.
44 -1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen der Schar, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
45 -[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
47 +* Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
48 +* Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind.
49 +* Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
46 46  
47 -__Hinweis__:
48 -Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
49 -
50 -**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**:
51 -Betrachtet wird die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}}. Dabei ist {{formula}}a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}} eine feste Zahl. Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} besitzt genau eine Extremstelle.
52 -
53 -1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft.
54 -1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen für zwei unterschiedliche Werte von {{formula}}a{{/formula}}, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
55 -[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
51 +Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
56 56  {{/aufgabe}}
57 57  
58 -{{aufgabe id="Rechteck im Graphen" afb="" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
59 -Für eine Zahl {{formula}}a>0{{/formula}} zeigt die Abbildung den Graphen {{formula}}G{{/formula}} der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x^3-2ax^2+a^2x{{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}h{{/formula}}. {{formula}}G{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}schneiden sich im Koordinatenursprung und {{formula}}h{{/formula}} verläuft senkrecht zur Tangente an {{formula}}G{{/formula}} im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich {{formula}}G{{/formula}} und die //x//-Achse im Punkt {{formula}}\left(a\middle|0\right){{/formula}}.
60 -Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:
61 -* Die beiden gemeinsamen Punkte von {{formula}}G{{/formula}} und der //x//-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
62 -* Eine Diagonale liegt auf der Geraden {{formula}}h{{/formula}}.
54 +{{aufgabe id="Integralfunktion2" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
55 +//f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion.
63 63  
64 -Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist.
57 +Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert:
58 +Wenn für alle {{formula}}a, b \in \textbf{D}{{/formula}} mit {{formula}}a<b{{/formula}} gilt: {{formula}}f(a)<f(b){{/formula}}, heißt //f// streng monoton steigend.
65 65  
66 -[[image:FunktionRechteck.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
60 +Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:
61 +Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend.
67 67  
63 +Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage:
64 +Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt.
68 68  {{/aufgabe}}
69 69  
70 -{{aufgabe id="Kamelaufgabe" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
71 -Ein Scheich hatte in seinem Testament bestimmt,
72 -dass der älteste Sohn die Hälfte, der zweite Sohn ein Drittel und der dritte Sohn ein Neuntel der Kamele des Scheichs erhalten sollten.
67 +{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
68 +[[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
73 73  
74 -Als der Scheich starb, hinterließ seinen drei Söhnen 35 Kamele.
70 +Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
75 75  
76 -Die Söhne wussten nicht, wie sie Kamele aufteilen sollten.
72 +Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
77 77  
78 -Da kam ein kluger Mann auf seinem Kamel geritten und versprach ihnen Hilfe. Er stellte sein Kamel zu der Herde, dass es nun 36 Tiere waren und sagte: „Nun könnt ihr die Kamele nach dem Willen eures Vaters verteilen.
79 -Was übrig bleibt, nehme ich als Lohn für meinen guten Rat.“
74 +* Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
75 +* Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
76 +* Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
77 +* Gast 4…
78 +* …
79 +* Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
80 80  
81 -Wie viele Kamele bekommen die einzelnen Söhne?
81 +Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
82 82  
83 -Was bekommt der kluge Mann?
83 +(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind.)
84 84  
85 -Wie ist es zu erklären, dass bei der Teilung Tiere für den klugen Mann übrig bleiben?
85 +(% style="text-align: right" %)
86 +,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
87 +{{/aufgabe}}
86 86  
87 -Haben die Söhne durch das Hinzustellen des 36. Kamels mehr oder weniger bekommen als im Testament vorgesehen?
89 +{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
90 +[[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
88 88  
89 -{{lehrende}}
90 -**Sinn dieser Aufgabe:**
91 -Nichtlineares Gleichungssystem mit Einsetzung lösen.
92 -{{/lehrende}}
92 +Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
93 93  
94 +Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
95 +
96 +Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
97 +
98 +(% style="text-align: right" %)
99 +,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
94 94  {{/aufgabe}}
95 95  
102 +{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
103 +Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
96 96  
97 -{{aufgabe id="Stern" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
98 -Zeichne die Figur in einem Zug, d.h. ohne den Stift abzusetzen!
99 -[[image:Stern.PNG||width="320" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
105 +In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
100 100  
107 +**Teil 1**
108 +Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
109 +Wer von den beiden ist was?
101 101  
111 +**Teil 2**
112 +Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
113 +Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
114 +Wer von den beiden ist was?
102 102  
103 -{{lehrende}}
104 -Knobelaufgabe
105 -{{/lehrende}}
106 -{{/aufgabe}}
116 +**Teil 3**
117 +//Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
107 107  
108 -{{aufgabe id="Zwei Kreise" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
109 -[[image:ZweiKreise.PNG||width="280" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
110 -Welche Radien haben die beiden Kreise in der Abbildung?
119 +Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
120 +Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
121 +Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
111 111  
112 -{{lehrende}}
113 -Knobelaufgabe
114 -**Sinn dieser Aufgabe:**
115 -* Zusammenhänge zwischen den Größen der beiden Kreise erkennen
116 -* Gleichungen aufstellen, die diese Zusammenhänge rechnerisch beschreiben
117 -* Problemlösestrategien entwickeln und anwenden
118 -* Streckenlängen z.B. mit Hilfe der Strahlensätze vergleichen
119 -{{/lehrende}}
123 +Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
120 120  {{/aufgabe}}
121 121  
122 -{{aufgabe id="Drei Kreise" afb="III" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
123 -[[image:DreiKreise.PNG||width="280" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
124 -Die inneren Kreise berühren sich und berühren jeweils den äußeren Kreis.
125 -Die schraffierte Fläche hat den Flächeninhalt {{formula}}2 \pi \ \text{cm}^2{{/formula}}. (Die Figur ist nicht im Maßstab 1:1 gezeichnet).
126 -Wie lang ist die Strecke {{formula}}\overline{AB}{{/formula}}?
126 +{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
127 +Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
128 +Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
127 127  
128 -{{lehrende}}
129 -Knobelaufgabe
130 -**Sinn dieser Aufgabe:**
131 -* Die Zusammenhänge zwischen den Radien und den Flächen der drei Kreise erkennen.
132 -* Geometrische Zusammenhänge durch Terme und Gleichungen beschreiben.
133 -* Problemlösestrategien entwickeln und anwenden.
134 -* Durch Variation unterschiedliche Fälle konkret untersuchen.
135 -* Das Ergebnis reflektieren.
136 -{{/lehrende}}
137 -{{/aufgabe}}
130 +Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
138 138  
139 -{{aufgabe id="Kreise im Quadrat" afb="III" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
140 -Einen Kreis in ein Quadrat zu zeichnen ist nicht besonders schwierig. Auch zwei gleiche Kreise lassen sich noch ziemlich gut in einem Quadrat unterbringen. Aber wie steht es mit 3, 4 oder gar 5 gleich großen Kreisen? Und welcher Flächenanteil des Quadrates wird dann von den Kreisen überdeckt?
132 + [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
141 141  
142 -Unnötig zu erwähnen, dass die Kreise möglichst groß sein sollen und sich nicht überlappen dürfen.
134 +Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
143 143  
144 -Welche Radien haben die beiden Kreise in der Abbildung?
145 -[[image:KreiseimQuadrat.PNG||width="280" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
136 +Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
146 146  
147 -{{lehrende}}
148 -Knobelaufgabe
149 -**Sinn dieser Aufgabe:**
150 -* Durch Variieren Zusammenhänge zwischen den Quadrat und Kreisen, sowie deren Kenngrößen erkennen
151 -* Problemlösestrategien, insbesondere Induktion und Variation, entwickeln und anwenden
152 -* Geometrische Beziehungen in algebraische Terme übersetzen
153 -{{/lehrende}}
138 +{{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
139 +
140 +(Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
141 +
142 +//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
154 154  {{/aufgabe}}
155 155  
156 -{{aufgabe id="Die Familie Bernoulli" afb="I" quelle="Team Mathebrücke, [[Wikimedia Commons>>http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Daniel_Bernoulli_001.jpg]], [[Wikimedia Commons>>http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Johann_Bernoulli.jpg]]" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
157 -[[image:512px-Daniel_Bernoulli_001.jpg||width="150" style="float: left"]]
158 -Die Familie Bernoulli zählt zu den wenigen Familien der Geschichte, die über Generationen bedeutende Persönlichkeiten hervor¬gebracht haben. Acht Mitglieder der Familie waren Professoren der Mathematik und Physik.
159 159  
160 160  
161 -Die berühmtesten Vertreter des Hauses waren die Brüder Jakob und Johann Bernoulli, die beide brillante Mathematiker waren. Der Vater der beiden war Niklaus Bernoulli. [[image:256px-Johann_Bernoulli.jpg||width="90" style="float: right"]] Die Söhne von Johann hießen Niklaus II, Daniel und Johann II.
147 +{{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
148 +Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
149 +übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
150 +das Tal.
151 +Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.
152 +
153 +Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
154 +an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.
155 +{{/aufgabe}}
162 162  
157 +{{aufgabe id="QuadratinKreis" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
158 +[[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG||width="200" style="float: right"]]
159 +In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
160 +Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
161 +kleineren Quadrates dar.
162 +
163 +In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
164 +der beiden Quadrate zueinander?
165 +{{/aufgabe}}
163 163  
164 -Niklaus war 44 Jahre älter als sein Sohn Johann, 72 Jahre älter als sein Enkel Niklaus II, 77 Jahre älter als sein Enkel Daniel und 87 Jahre älter als sein Enkel Johann II. Die Summe der fünf Geburtsjahre ist 8395.
165 165  
166 166  
167 -Wann wurde Daniel Bernoulli geboren?
169 +{{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
170 +[[image:unendlicheQuadrate.PNG||width="250" style="float: right"]]
168 168  
172 +Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
173 +zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
174 +Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
175 +Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
176 +Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
177 +Quadrate, die immer kleiner werden.
178 +
179 +Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
169 169  {{/aufgabe}}
170 170  
171 -== IQB-Index ==
172 -{{getaggt}}iqb{{/getaggt}}
182 +{{aufgabe id="Blaettchen" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
183 +[[image:Blaettchen.PNG||width="340" style="float: right"]]
184 +Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
185 +Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
186 +Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
187 +Blättchen? Begründe.
188 +{{/aufgabe}}
189 +
190 +{{aufgabe id="Spinne" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
191 +[[image:SpinneSchachtel.png||width="240" style="float: right"]]
192 +Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.
193 +
194 +Ermittle die Länge des kürzesten Weges.
195 +{{/aufgabe}}
256px-Johann_Bernoulli.jpg
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