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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -1,12 +1,13 @@
1 -{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
1 +{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
2 2  [[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%.
3 3  
4 4  Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich)
5 5  
6 -,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],,
6 +(% style="text-align: right" %)
7 +,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],,
7 7  {{/aufgabe}}
8 8  
9 -{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
10 +{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
10 10  Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
11 11  
12 12  Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
... ... @@ -16,7 +16,7 @@
16 16  [[image:x hoch minus 2.png]]
17 17  {{/aufgabe}}
18 18  
19 -{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
20 +{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
20 20  [[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
21 21  
22 22  So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
... ... @@ -24,7 +24,7 @@
24 24  Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
25 25  {{/aufgabe}}
26 26  
27 -{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
28 +{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
28 28  [[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In //[0; π/2]// soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
29 29  
30 30  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -40,7 +40,7 @@
40 40  (Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
41 41  {{/aufgabe}}
42 42  
43 -{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
44 +{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
44 44  Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
45 45  
46 46  * Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
... ... @@ -50,7 +50,7 @@
50 50  Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
51 51  {{/aufgabe}}
52 52  
53 -{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
54 +{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
54 54  //f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion.
55 55  
56 56  Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert:
... ... @@ -63,8 +63,8 @@
63 63  Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt.
64 64  {{/aufgabe}}
65 65  
66 -{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
67 -Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
67 +{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
68 +[[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
68 68  
69 69  Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
70 70  
... ... @@ -80,9 +80,12 @@
80 80  Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
81 81  
82 82  (Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind.)
84 +
85 +(% style="text-align: right" %)
86 +,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
83 83  {{/aufgabe}}
84 84  
85 -{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
89 +{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
86 86  [[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
87 87  
88 88  Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
... ... @@ -91,13 +91,11 @@
91 91  
92 92  Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
93 93  
94 -,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
98 +(% style="text-align: right" %)
99 +,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
95 95  {{/aufgabe}}
96 96  
97 -
98 -
99 -
100 -{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
102 +{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
101 101  Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
102 102  
103 103  In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
... ... @@ -112,22 +112,23 @@
112 112  Wer von den beiden ist was?
113 113  
114 114  **Teil 3**
115 -Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.
117 +//Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
116 116  
117 117  Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
118 118  Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
119 119  Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
120 120  
123 +
121 121  Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
125 +{{/aufgabe}}
122 122  
123 -{{aufgabe id="Analysis" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
124 -
127 +{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
125 125  Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
126 126  Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
127 127  
128 128  Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
129 129  
130 - [[image:Aufgabe 10 Analysis.png||width="1000"]]
133 + [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
131 131  
132 132  Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
133 133  
... ... @@ -137,4 +137,26 @@
137 137  
138 138  (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
139 139  
140 -//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}//
143 +//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
144 +{{/aufgabe}}
145 +
146 +{{aufgabe id="Grashalm-Orakel" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
147 +Wenn früher in Russland eine junge Frau wissen wollte, ob sie im nächsten Jahr verheiratet sein
148 +werde, fragte sie das Grashalm-Orakel.
149 +Sie nahm 4 Grashalme in die Faust, sodass sie oben und unten herausragten, und bat eine Freundin, alle Enden oberhalb der Faust irgendwie zufällig, aber paarweise, zusammenzuknoten. Bei allen Enden unterhalb der Faust ebenso. Dann öffnet das Mädchen die Faust. Falls dabei ein einziger großer Ring aus Gras entsteht, bedeutet dies, dass die junge Frau im nächsten Jahr heiraten werde.
150 +
151 +Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Situation ein einziger großer Ring aus Gras
152 +entsteht?
153 +{{/aufgabe}}
154 +
155 +{{aufgabe id="Gitter" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
156 +[[image:Gitter 7x7.svg||style="float: right" width="200"]]Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei einem beliebigen mxm-Gitter (//m// ist eine natürliche Zahl) entlang der Gitterlinien auf kürzestem Wege von einer Ecke zur diagonal gegenüberliegenden Ecke zu gelangen?
157 +
158 +Zur Problemlösung legen Ihnen 3 Mitschüler*innen Lösungsansätze vor. Begründe, welcher Ansatz stimmt
159 +und weshalb die beide anderen Ansätze falsch sind.
160 +
161 +**Ansatz 1:** {{formula}}2m{{/formula}} mögliche Wege
162 +**Ansatz 2:** {{formula}}2^{2m}{{/formula}} mögliche Wege
163 +**Ansatz 3:** {{formula}}\binom{2m}{m}{{/formula}} mögliche Wege
164 +{{/aufgabe}}
165 +
Aufgabe 10 Analysis.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -27.2 KB
Inhalt
Aufgabe10Plot.PNG
Author
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1 +XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +42.9 KB
Inhalt
Gitter 7x7.svg
Author
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1 +XWiki.holgerengels
Größe
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1 +3.3 KB
Inhalt
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +<svg version="1.1" viewBox="0.0 0.0 385.51181102362204 385.51181102362204" fill="none" stroke="none" stroke-linecap="square" stroke-miterlimit="10" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><clipPath id="p.0"><path d="m0 0l385.5118 0l0 385.5118l-385.5118 0l0 -385.5118z" clip-rule="nonzero"/></clipPath><g clip-path="url(#p.0)"><path fill="#000000" fill-opacity="0.0" d="m0 0l385.5118 0l0 385.5118l-385.5118 0z" fill-rule="evenodd"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m3.7795277 2.28084l0 380.45404" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m57.771652 2.28084l0 58.826775" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m57.771652 61.107613l0 321.6273" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m111.76378 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m165.7559 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m219.74803 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m273.74014 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m327.73227 2.7795277l0 323.769" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m327.73227 326.54855l0 56.685028" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m381.7244 2.7795277l0 380.45404" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 3.7795277l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m59.27034 3.7795277l323.45404 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 59.608925l53.49344 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m56.272964 59.608925l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m112.76378 59.608925l269.96063 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 113.296585l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 166.98425l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 220.67192l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 274.3596l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 328.04724l269.9606 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m272.74014 328.04724l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m329.23096 328.04724l53.49344 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 381.7349l323.45404 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m326.23358 381.7349l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/></g></svg>
Lichtschalter_mechanisch.jpg
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