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bearbeitet von Martina Wagner
am 2023/11/13 18:19
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Zusammenfassung
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... ... @@ -1,1 +1,1 @@ 1 -XWiki. martinawagner1 +XWiki.akukin - Inhalt
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... ... @@ -64,7 +64,7 @@ 64 64 Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt. 65 65 {{/aufgabe}} 66 66 67 -{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 67 +{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 68 68 [[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist. 69 69 70 70 Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet. ... ... @@ -86,7 +86,7 @@ 86 86 ,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],, 87 87 {{/aufgabe}} 88 88 89 -{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 89 +{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 90 90 [[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde. 91 91 92 92 Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken. ... ... @@ -99,7 +99,7 @@ 99 99 ,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],, 100 100 {{/aufgabe}} 101 101 102 -{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 102 +{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 103 103 Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt. 104 104 105 105 In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt. ... ... @@ -120,60 +120,36 @@ 120 120 Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt. 121 121 Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das? 122 122 123 - 124 124 Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen. 125 125 {{/aufgabe}} 126 126 127 -{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 126 +{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} 128 128 Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}. 129 129 Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}. 130 - 129 + 131 131 Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//. 132 132 133 133 [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]] 134 134 135 135 Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen. 136 - 135 + 137 137 Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt: 138 - 137 + 139 139 {{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}} 140 - 139 + 141 141 (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.) 142 142 143 143 //Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.// 144 144 {{/aufgabe}} 145 145 146 -{{aufgabe id="Grashalm-Orakel" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}} 147 -Wenn früher in Russland eine junge Frau wissen wollte, ob sie im nächsten Jahr verheiratet sein werde, fragte sie das Grashalm-Orakel. 148 -Sie nahm 4 Grashalme in die Faust, sodass sie oben und unten herausragten, und bat eine Freundin, alle Enden oberhalb der Faust irgendwie zufällig, aber paarweise, zusammenzuknoten. Bei allen Enden unterhalb der Faust ebenso. Dann öffnet das Mädchen die Faust. Falls dabei ein einziger großer Ring aus Gras entsteht, bedeutet dies, dass die junge Frau im nächsten Jahr heiraten werde. 149 149 150 -Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Situation ein einziger großer Ring aus Gras entsteht? 151 -{{/aufgabe}} 152 152 153 -{{aufgabe id="Gitter" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}} 154 -[[image:Gitter 7x7.svg||style="float: right" width="200"]]Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei einem beliebigen mxm-Gitter (//m// ist eine natürliche Zahl) entlang der Gitterlinien auf kürzestem Wege von einer Ecke zur diagonal gegenüberliegenden Ecke zu gelangen? 155 - 156 -Zur Problemlösung legen Ihnen 3 Mitschüler*innen Lösungsansätze vor. Begründe, welcher Ansatz stimmt 157 -und weshalb die beide anderen Ansätze falsch sind. 158 - 159 -**Ansatz 1:** {{formula}}2m{{/formula}} mögliche Wege 160 -**Ansatz 2:** {{formula}}2^{2m}{{/formula}} mögliche Wege 161 -**Ansatz 3:** {{formula}}\binom{2m}{m}{{/formula}} mögliche Wege 147 +{{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}} 148 +Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und 149 +übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr 150 +das Tal. 151 +Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit. 152 + 153 +Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel 154 +an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet. 162 162 {{/aufgabe}} 163 - 164 -{{aufgabe id="Urne Blau Weiß" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}} 165 -In einer Urne liegen zwei Kugeln, eine ist weiß und eine ist blau. Lea zieht zufällig, also ohne hinzuschauen, eine Kugel aus der Urne. 166 -Sie betrachtet deren Farbe und legt die gezogene Kugel zusammen mit einer weiteren, gleichfarbigen Kugel zurück in die Urne. Diese Schritte wiederholt sie immer wieder. Mit jedem Zug kommt so eine zusätzliche Kugel hinzu. Sie führt dies genau 100 Mal durch, sodass sich am Ende 102 Kugeln in der Urne befinden. 167 -Am Ende befinden sich 100 blaue und nur zwei weiße Kugeln. Es wurde also nur ein einziges Mal eine weiße Kugel gezogen. 168 -Ist es wahrscheinlicher, dass dies während der ersten 50 Züge oder während der zweiten 50 Züge geschah? Oder liegt die gleiche Wahrscheinlichkeit vor? Begründe. 169 -{{/aufgabe}} 170 - 171 -{{aufgabe id="Max und Moritz" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}} 172 -Max und Moritz würfeln gegeneinander. Sie haben drei verschiedene sechsseitige Würfel, deren Seiten mit folgenden 173 -Zahlen beschriftet sind: 174 -Würfel A: 2, 2, 2, 2, 5, 5 175 -Würfel B: 1, 1, 4, 4, 4, 4 176 -Würfel C: 3, 3, 3, 3, 3, 3 177 -Max darf sich zunächst einen Würfel aussuchen, mit welchem er später ein Mal würfelt. Dann darf sich Moritz einen von den verbliebenen zwei Würfeln aussuchen, mit welchem er später ein Mal würfelt. Wer die höhere Zahl wirft, gewinnt. 178 -Welcher Spielteilnehmer hat die größten Chancen zu gewinnen? Beschreibe und begründe die Strategie, die hierfür gewählt werden sollte. 179 -{{/aufgabe}}