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  • Gaußsche Summenformel.PNG
  • Nichomachus.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

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1		-XWiki.holgerengels
	1	+XWiki.akukin

Inhalt

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188	188	Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion {{formula}}f(x)=\frac{1}{2x}{{/formula}} aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|){{/formula}}. Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von //f// zunächst um: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}{{/formula}}, denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|){{/formula}}. Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.
189	189	{{/aufgabe}}
190	190
	191	+
	192	+{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	193	+Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
	194	+sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
	195	+[[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
	196	+
	197	+{{lehrende}}
	198	+**Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
	199	+Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
	200	+
	201	+**Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
	202	+Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
	203	+**Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
	204	+**Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
	205	+**Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
	206	+Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
	207	+die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
	208	+{{/lehrende}}
	209	+{{/aufgabe}}
	210	+
	211	+{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	212	+„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
	213	+
	214	+{{lehrende}}
	215	+**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
	216	+{{/lehrende}}
	217	+
	218	+Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
	219	+[[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
	220	+
	221	+Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
	222	+{{/aufgabe}}
	223	+
	224	+{{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	225	+
	226	+{{lehrende}}
	227	+**Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
	228	+
	229	+**Aufgabe 1**
	230	+
	231	+Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
	232	+
	233	+{{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
	234	+
	235	+Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	236	+
	237	+**Aufgabe 2**
	238	+
	239	+Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	240	+
	241	+**Aufgabe 3**
	242	+
	243	+Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit
	244	+{{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
	245	+Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	246	+
	247	+**Variante 2:** Klassenarbeitsdaufgabe
	248	+
	249	+**Aufgabe 1.1**
	250	+Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
	251	+ {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
	252	+a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	253	+b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
	254	+
	255	+Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
	256	+
	257	+**Aufgabe 1.2**
	258	+
	259	+Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
	260	+ {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
	261	+Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
	262	+{{/lehrende}}
	263	+
	264	+{{/aufgabe}}

Gaußsche Summenformel.PNG

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