Änderungen von Dokument Pool

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
• Anhänge (0 geändert, 0 hinzugefügt, 10 gelöscht)
  • Aufgabe10Plot.PNG
  • Blaettchen.PNG
  • Gaußsche Summenformel.PNG
  • Gitter 7x7.svg
  • Lichtschalter_mechanisch.jpg
  • Nichomachus.PNG
  • QuadratinKreisinQuadrat.PNG
  • Quadratspirale.PNG
  • SpinneSchachtel.png
  • unendlicheQuadrate.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,229 +1,96 @@
1		-{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="II" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="20"}}
2		-[[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
	1	+{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	2	+[[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%.
3	3
4		-Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
	4	+Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich)
5	5
6		-Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
7		-
8		-* Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
9		-* Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
10		-* Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
11		-* Gast 4…
12		-* …
13		-* Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
14		-
15		-Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
16		-
17		-(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind. (30min, AB II für Bonus-Aufgabe))
18		-
19		-(% style="text-align: right" %)
20		-,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
	6	+,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],,
21	21	{{/aufgabe}}
22	22
23		-{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="II" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
24		-[[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
	9	+{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	10	+Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
25	25
26		-Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
	12	+Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
27	27
28		-Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
	14	+Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
29	29
30		-Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
31		-
32		-(% style="text-align: right" %)
33		-,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
	16	+[[image:x hoch minus 2.png]]
34	34	{{/aufgabe}}
35	35
36		-{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" zeit="30" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
37		-Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
	19	+{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	20	+[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
38	38
39		-In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
	22	+So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
40	40
41		-**Teil 1**
42		-Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
43		-Wer von den beiden ist was?
44		-
45		-**Teil 2**
46		-Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
47		-Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
48		-Wer von den beiden ist was?
49		-
50		-**Teil 3**
51		-//Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
52		-
53		-Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
54		-Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
55		-Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
56		-
57		-Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
	24	+Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
58	58	{{/aufgabe}}
59	59
60		-{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
61		-Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
62		-Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
	27	+{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	28	+[[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In //[0; π/2]// soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
63	63
64		-Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
	30	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	31	+1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//.
	32	+1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
65	65
66		- [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
	34	+{{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}}
67	67
68		-Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
	36	+ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist.
	37	+)))
	38	+1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.
69	69
70		-Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
71		-
72		-{{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
73		-
74		-(Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
75		-
76		-//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
	40	+(Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
77	77	{{/aufgabe}}
78	78
	43	+{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	44	+Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
79	79
	46	+* Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
	47	+* Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind.
	48	+* Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
80	80
81		-{{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
82		-Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
83		-übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
84		-das Tal.
85		-Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.
86		-
87		-Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
88		-an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.
	50	+Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
89	89	{{/aufgabe}}
90	90
91		-{{aufgabe id="QuadratinKreis" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
92		-[[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG||width="200" style="float: right"]]
93		-In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
94		-Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
95		-kleineren Quadrates dar.
96		-
97		-In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
98		-der beiden Quadrate zueinander?
99		-{{/aufgabe}}
	53	+{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	54	+//f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion.
100	100
	56	+Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert:
	57	+Wenn für alle {{formula}}a, b \in \textbf{D}{{/formula}} mit {{formula}}a<b{{/formula}} gilt: {{formula}}f(a)<f(b){{/formula}}, heißt //f// streng monoton steigend.
101	101
	59	+Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:
	60	+Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend.
102	102
103		-{{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
104		-[[image:unendlicheQuadrate.PNG||width="250" style="float: right"]]
105		-
106		-Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
107		-zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
108		-Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
109		-Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
110		-Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
111		-Quadrate, die immer kleiner werden.
112		-
113		-Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
	62	+Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage:
	63	+Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt.
114	114	{{/aufgabe}}
115	115
116		-{{aufgabe id="Blaettchen" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
117		-[[image:Blaettchen.PNG||width="340" style="float: right"]]
118		-Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
119		-Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
120		-Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
121		-Blättchen? Begründe.
122		-{{/aufgabe}}
	66	+{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	67	+Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
123	123
124		-{{aufgabe id="Spinne" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
125		-[[image:SpinneSchachtel.png||width="240" style="float: right"]]
126		-Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.
127		-
128		-Ermittle die Länge des kürzesten Weges.
129		-{{/aufgabe}}
	69	+Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
130	130
131		-{{aufgabe id="Kreismittelpunkt" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
132		-Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.
133		-
134		-Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?
135		-{{/aufgabe}}
	71	+Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
136	136
137		-{{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
138		-In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
139		-
140		-Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
141		-[[image:Quadratspirale.PNG||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
142		-{{/aufgabe}}
	73	+* Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
	74	+* Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
	75	+* Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
	76	+* Gast 4…
	77	+* …
	78	+* Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
143	143
144		-{{aufgabe id="Pilot " afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
145		-Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
146		-Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
147		-
148		-Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
149		-
150		-Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.
151		-{{/aufgabe}}
	80	+Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
152	152
153		-{{aufgabe id="Aufleiten" afb="III" Kompetenzen="K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="15"}}
154		-Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion {{formula}}f(x)=\frac{1}{2x}{{/formula}} aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|){{/formula}}. Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von //f// zunächst um: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}{{/formula}}, denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|){{/formula}}. Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.
	82	+(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind.)
155	155	{{/aufgabe}}
156	156
	85	+{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
	86	+[[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
157	157
158		-{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
159		-Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
160		-sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
161		-[[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
	88	+Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
162	162
163		-{{lehrende}}
164		-**Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
165		-Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
166		-
167		-**Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
168		-Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
169		-**Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
170		-**Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
171		-**Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
172		-Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
173		-die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
174		-{{/lehrende}}
175		-{{/aufgabe}}
	90	+Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
176	176
177		-{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
178		-„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
	92	+Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
179	179
180		-{{lehrende}}
181		-**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
182		-{{/lehrende}}
183		-
184		-Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
185		-[[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
186		-
187		-Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
	94	+,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
188	188	{{/aufgabe}}
189	189
190		-{{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
191		-
192		-{{lehrende}}
193		-**Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
194		-
195		-**Aufgabe 1**
196		-
197		-Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
198		-
199		- {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
200		-
201		-Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
202		-
203		-**Aufgabe 2**
204		-
205		-Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
206		-
207		-**Aufgabe 3**
208		-
209		-Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
210		-Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
211		-
212		-**Variante 2:** Klassenarbeitsaufgabe
213		-
214		-**Aufgabe 1.1**
215		-Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
216		- {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
217		-a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
218		-b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
219		-
220		-Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
221		-
222		-**Aufgabe 1.2**
223		-
224		-Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
225		- {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
226		-Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
227		-{{/lehrende}}
228		-
229		-{{/aufgabe}}

Aufgabe10Plot.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-42.9 KB

Inhalt

Blaettchen.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-10.5 KB

Inhalt

Gaußsche Summenformel.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-149.3 KB

Inhalt

Gitter 7x7.svg

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.holgerengels

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-3.3 KB

Inhalt

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-<svg version="1.1" viewBox="0.0 0.0 385.51181102362204 385.51181102362204" fill="none" stroke="none" stroke-linecap="square" stroke-miterlimit="10" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><clipPath id="p.0"><path d="m0 0l385.5118 0l0 385.5118l-385.5118 0l0 -385.5118z" clip-rule="nonzero"/></clipPath><g clip-path="url(#p.0)"><path fill="#000000" fill-opacity="0.0" d="m0 0l385.5118 0l0 385.5118l-385.5118 0z" fill-rule="evenodd"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m3.7795277 2.28084l0 380.45404" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m57.771652 2.28084l0 58.826775" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m57.771652 61.107613l0 321.6273" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m111.76378 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m165.7559 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m219.74803 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m273.74014 2.7795277l0 379.95535" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m327.73227 2.7795277l0 323.769" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m327.73227 326.54855l0 56.685028" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m381.7244 2.7795277l0 380.45404" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 3.7795277l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m59.27034 3.7795277l323.45404 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 59.608925l53.49344 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m56.272964 59.608925l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m112.76378 59.608925l269.96063 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 113.296585l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 166.98425l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 220.67192l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 274.3596l379.94485 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 328.04724l269.9606 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m272.74014 328.04724l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m329.23096 328.04724l53.49344 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#9e9e9e" stroke-width="2.0" stroke-linecap="butt" d="m2.7795277 381.7349l323.45404 0" fill-rule="nonzero"/><path stroke="#000000" stroke-width="3.0" stroke-linecap="butt" d="m326.23358 381.7349l56.490814 0" fill-rule="nonzero"/></g></svg>

Lichtschalter_mechanisch.jpg

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.holgerengels

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-112.1 KB

Inhalt

Nichomachus.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-79.2 KB

Inhalt

QuadratinKreisinQuadrat.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-21.0 KB

Inhalt

Quadratspirale.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-11.9 KB

Inhalt

SpinneSchachtel.png

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-7.1 KB

Inhalt

unendlicheQuadrate.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-10.7 KB

Inhalt