Aufgabe 1 Die Rätsel um Johannes und Wilhelm
Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
Teil 1
Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
Wer von den beiden ist was?
Teil 2
Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
Wer von den beiden ist was?
Teil 3
Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.
Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
| AFB III | Kompetenzen K2 K1 K6 | Bearbeitungszeit 30 min |
| Quelle Dr. Andreas Dinh | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 2 L’Hospital
Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit
.
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten -Wert
ist
für alle
.
Betrachtet man z. B. die Funktionen und
, so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).
Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:
(Die Regel setzt man ein, wenn für Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen
oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen
gehen.)
Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für und für
.
| AFB III | Kompetenzen K2 K4 K5 K6 | Bearbeitungszeit 30 min |
| Quelle Dr. Andreas Dinh | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 3 Gaußsche Summenformel
Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + n kann man mit der
sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
| AFB k.A. | Kompetenzen k.A. | Bearbeitungszeit k.A. |
| Quelle k.A. | Lizenz CC BY-SA | |