Erwartungshorizont
\(f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2\)
Die Steigung von h beträgt
\(-\frac{1}{f^\prime\left(0\right)}=-\frac{1}{a^2}\)
so dass \(h\) durch den Term
\(h\left(x\right)=-\frac{1}{a^2}x\)
beschrieben wird. Flächeninhalt des Rechtecks:
\(\left|h\left(a\right)\right|\cdot a=\frac{1}{a}\cdot a=1\)
Erläuterung der Lösung
Das Rechteck geht vom Ursprung nach rechts bis zur zweiten Nullstelle (Berührstelle) von G und von dort nach unten bis zur Geraden \(h\), da die Diagonale des Rechtecks auf \(h\) liegen soll.Die Breite des Rechtecks ist der Abstand der beiden Nullstellen von \(f\):
\(f\left(x\right)=0\)
\(x^3-2ax^2+a^2x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\left(x^2-2ax+a^2\right)=0\)
Zweite Binomische Formel:
\(x\left(x-a\right)^2=0\)
Satz vom Nullprodukt:
\(x=0 \ \vee \ x=a\)
Die Breite des Rechtecks ist folglich \(\left|a\right| \)(Betrag von \(a\), da \(a\) auch negativ sein kann, die Breite des Rechtecks jedoch nicht.)
Für die noch fehlende Höhe des Rechtecks benötigen wir die Gleichung von \(h\):
\(f^\prime\left(x\right)=3x^2-4ax+a^2\)
Steigung der Tangente an G im Ursprung: \(f^\prime\left(0\right)=a^2\) Da die Gerade \(h\) senkrecht auf dieser Tangente steht, ist die Steigung von \(h\): \(m=-\frac{1}{f^\prime\left(0\right)}=-\frac{1}{a^2}\) Da \(h\) eine Ursprungsgerade ist, lautet ihre Gleichung:
\(h\left(x\right)=-\frac{1}{a^2}x\)
Um die Höhe des Rechtecks zu berechnen, setzen wir die zweite Nullstelle \(x=a\) in die Gleichung von \(h\) ein: \(h\left(a\right)=-\frac{1}{a^2}a=-\frac{1}{a}\) Die Höhe ist folglich \(\left|-\frac{1}{a}\right|\)
Der Flächeninhalt ergibt sich also zu \(\left|a\right|\cdot\left|-\frac{1}{a}\right|=a\cdot\frac{1}{a}=1\) was unabhängig von \(a\) ist (was zu beweisen war).