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2024 eAN - Teil A - Wahlaufgabe und Problemlöseaufgabe

Version 6.1 von akukin am 2024/12/23 13:15

Die Abbildung zeigt den Graphen G_f der in \mathbb{R} definierten Funktion f: x \mapsto e^{-x}-e^{-2x}.
G_f schneidet die x-Achse an der Stelle x_1=0 und hat einen Hochpunkt an der Stelle x_H.
GraphAnalysisA5.12024.png

  1. Weise rechnerisch nach, dass x_1 die einzige Nullstelle von f ist. [2 BE]
  2. Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung. [3 BE]
    1. f^{\prime \prime} (0,5)>0
    2. \int_0^2 f(x)dx<2\cdot f(x_H ) 
AFB   k.A.Kompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Abitur 2024Lizenz   k.A.

Gegeben ist die Funktion f mit  f(x)=(x^2-4)\cdot(x-1) mit x\in \mathbb{R} . Ihr Graph ist K_f.

  1. Gib die Nullstellen von f  an. [1 BE]
  2. Ermittle eine Gleichung der Tangente an K_f im Schnittpunkt von K_f mit der y-Achse.
    Zeige, dass diese Tangente mit  K_f  einen gemeinsamen Punkt auf der x-Achse hat. [4 BE]
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Quelle   Abitur 2024Lizenz   k.A.

Gegeben sind die beiden 2x2-Matrizen A und B sowie der Vektor \vec{v}.

A=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{v}=\left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)

  1. Zeige rechnerisch, dass B eine inverse Matrix zu A ist. [2BE]
  2. Gib eine mögliche Fragestellung an, die durch die Lösung des folgenden Gleichungssystems beantwortet werden kann. [3BE]

\begin{align} 2v_1-v_2&=1 \\ -3v_1+v_2&=2 \end{align}

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Für eine reelle Zahl a ist die Gerade g durch g: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\2\\3 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}1\\1\\a \end{matrix}\right) mit t\in\mathbb{R} gegeben.
Außerdem wird die Ebene E beschrieben durch E: x_1+x_2=3

  1. Bestimme den Wert von a so, dass sich g und E orthogonal schneiden. [2BE]
  2. Für a=1,5 schneidet g die x_1-Achse im Punkt P und die Ebene E im Punkt S\left(1\left|2\right|3\right). Zudem ist der Punkt Q\left(1\left|2\right|0\right) bekannt.
    Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks PQS.  [3BE]
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