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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis 5_2

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/16 09:57
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}x_1=-2; \ x_2=1; \ x_3=2{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Gib die Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} an.
11 </p>
12 //Lösung//
13 <br>
14 Der Satz des Nullprodukts besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor Null ist.
15 Der erste Faktor wird Null für {{formula}}x=\pm 2{{/formula}}, der zweite Faktor für {{formula}}x=1{{/formula}}.
16 <br>
17 Folglich sind die Nullstellen:
18 <br>
19 {{formula}}x_1=-2; \ x_2=1; \ x_3=2{{/formula}}
20 {{/detail}}
21
22 === Teilaufgabe b) ===
23 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
24 <p>
25
26 {{formula}}
27 \begin{align*}
28 f(x)&=x^3-x^2-4x+4 \\
29 f^\prime(x)&=3x^2-2x-4 \\
30 f(0)&=4; \ f^\prime(0)=-4 \\
31 t(x)&=-4x+4
32 \end{align*}
33 {{/formula}}
34
35 </p>
36 Aufgrund der Lage der Tangente muss der gemeinsame Punkt an einer der positiven Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} liegen.
37 <br>
38 Man findet {{formula}}t(1)=f(1)=0{{/formula}}.
39 {{/detail}}
40
41
42 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
43 //Aufgabenstellung//
44 <br><p>
45 Ermittle eine Gleichung der Tangente an {{formula}}K_f{{/formula}} im Schnittpunkt von {{formula}}K_f{{/formula}} mit der y-Achse.
46 Zeige, dass diese Tangente mit {{formula}}K_f {{/formula}} einen gemeinsamen Punkt auf der x-Achse hat.
47 </p>
48 //Lösung//
49 <br><p>
50 Für die Gleichung der Tangente wird ihre Steigung und ihr y-Achsenabschnitt benötigt. Die Steigung der Tangente ist die Ableitung von {{formula}}f{{/formula}} an der Stelle, an der der Graph von {{formula}}f{{/formula}} die Tangente berührt. Da die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} angelegt werden soll, ist die Steigung der Tangente {{formula}}f^\prime(0){{/formula}}.
51 </p>
52 <br>
53
54 {{formula}}
55 \begin{align*}
56 f(x)&=x^3-x^2-4x+4 \\
57 f^\prime(x)&=3x^2-2x-4 \\
58 f^\prime(0)&=-4
59 \end{align*}
60 {{/formula}}
61
62 <br>
63 Die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} lautet also:
64 <br>
65 {{formula}}t(x)=-4x+b{{/formula}}
66 <br>
67 wobei {{formula}}b{{/formula}} der y-Achsenabschnitt ist. Da die Tangente jedoch den Graphen genau am y-Achsenabschnitt berühren soll, müssen die beiden y-Achsenabschnitte gleich sein:
68 <br>
69 {{formula}}b=f(0)=4{{/formula}}
70 <br>
71 Folglich ist die Tangentengleichung:
72 <br><p>
73 {{formula}}t(x)=-4x+4{{/formula}}
74 </p>
75
76 Die Tangente schneidet die x-Achse bei {{formula}}x=1{{/formula}}, da {{formula}}t(1)=0{{/formula}} ergibt. Bei {{formula}}x=1{{/formula}} hat aber auch die Funktion {{formula}}f{{/formula}} einen Schnittpunkt mit der x-Achse (siehe Teilaufgabe a)). Also haben Tangente und Graph von {{formula}}f{{/formula}} den gemeinsamen Punkt {{formula}}S(1\mid 0){{/formula}}.
77
78 {{/detail}}