Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -187,12 +187,12 @@
187	187
188	188	{{formula}}
189	189	\begin{align}
190		-&\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} &&=0 \\
191		-&\Leftrightarrow\ \ \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} &&=0\\
192		-&\Leftrightarrow\ \ \ \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} &&=0 \\
193		-&\Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4 &&=0 \\
194		-&\Leftrightarrow\ \ \frac{64}{3}-\frac{64}{9}-\frac{64}{3}k+32k &&=0\\
195		-&\Leftrightarrow\ \ k=\frac{2}{3}
	190	+&\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d} x} =0 \\
	191	+&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2\right)-\left(kx\left(x-4\right)\right)\right)\mathrm{d} x} =0\\
	192	+&\Leftrightarrow \int_{0}^{4}{\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-kx^2+4kx\right)\mathrm{d} x} =0 \\
	193	+&\Leftrightarrow \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4 =0 \\
	194	+&\Leftrightarrow \frac{64}{3}-\frac{64}{9}-\frac{64}{3}k+32k =0\\
	195	+&\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}
196	196	\end{align}
197	197	{{/formula}}
198	198
...	...	@@ -210,3 +210,24 @@
210	210	<br>
211	211	{{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen.
212	212	{{/detail}}
	213	+
	214	+
	215	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	216	+//Aufgabenstellung//
	217	+<br><p>
	218	+Begründe, dass die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}h(x)=e^{f(x)}{{/formula}} die gleichen Extremstellen wie die Funktion {{formula}}f{{/formula}} hat.
	219	+</p>
	220	+//Lösung//
	221	+<br>
	222	+{{formula}}h(x){{/formula}} kann mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet werden:
	223	+<br>
	224	+{{formula}}h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x){{/formula}}
	225	+<br>
	226	+An Extremstellen ist die erste Ableitung Null.
	227	+<br>
	228	+{{formula}}h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0{{/formula}}
	229	+<br><p>
	230	+Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass dieser Term Null wird, wenn entweder {{formula}}e^{f(x)}{{/formula}} Null wird (was nicht eintreten kann, da Exponentialterme immer positiv sind) oder {{formula}}f^\prime(x){{/formula}} Null wird.
	231	+</p>
	232	+{{formula}}h^\prime{{/formula}} und {{formula}}f^\prime{{/formula}} haben also die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben {{formula}}h{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} dieselben Extremstellen.
	233	+{{/detail}}