Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(f(1)=-1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}\)Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}\)\(f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}\)
Am Schaubild ist zu erkennen, dass der Tiefpunkt bei \(x=\frac{8}{3}\) liegt.\(f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right)\)
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3};\ \ f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0\) Somit ist \(x=\frac{4}{3}\) Wendestelle.Steigung der Wendetangente: \(f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}\)
Schnittwinkel mit der x-Achse: \(\left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ\)
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(s^{\prime\prime}\left(x\right)=2x\)\(f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0\)
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont (offiziell)
Der Wert \(u_1=3\) ist derjenige x-Wert, für den der Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks maximal wird. Es handelt sich um ein globales Maximum.Teilaufgabe f)
Erwartungshorizont (offiziell)
Gleichung der Parabel \(p\) mit \(p(x)=k\cdot x\cdot(x-4)\)\(\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g\left(x\right)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}\)
\(p\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot\left(x-4\right)\)
Teilaufgabe g)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)\)\(h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0\) mit \(e^{f\left(x\right)}>0\)
\(h^\prime\) und \(f^\prime\) haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben \(h\) und \(f\) dieselben Extremstellen.