Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 2

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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6	6	</p>
7	7	(3) Die Aussage ist falsch. Es gilt {{formula}}J^\prime(x)=g(x){{/formula}}. {{formula}}g{{/formula}} weist beispielsweise für {{formula}}x=3,5{{/formula}} einen negativen Funktionswert auf. Somit ist {{formula}}J{{/formula}} an dieser Stelle nicht monoton wachsend.
8	8	{{/detail}}
9		-
10		-
11		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
12		-//Aufgabenstellung//
13		-<br>
14		-Die Abbildung zeigt den Graphen {{formula}}K_g{{/formula}} einer Funktion {{formula}}g{{/formula}} im Definitionsbereich {{formula}}-4\le x\le4{{/formula}}.
15		-Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.
16		-<br>
17		-[[image:GraphAufgabe2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
18		-<br>
19		-(1) Die zugehörige Ableitungsfunktion {{formula}}g^\prime{{/formula}} hat genau 5 Nullstellen.
20		-<br>
21		-(2) Es gilt: {{formula}}\int_{0}^{4}{g(x)\mathrm{d} x>0}{{/formula}}
22		-<br><p>
23		-(3) Die Integralfunktion {{formula}}J{{/formula}} mit {{formula}}J(x)=\int_{0}^{x}{g(t)\mathrm{d} t}{{/formula}} ist für {{formula}}0\le x\le4{{/formula}} monoton wachsend.
24		-</p>
25		-//Lösung//
26		-<br>
27		-(1) Die Aussage ist wahr. Am Graph {{formula}}K_g{{/formula}} ist ersichtlich, dass dieser 5 Stellen mit waagrechter Tangente aufweist. Und da die Steigung der Tangente die erste Ableitung ist, hat {{formula}}g^\prime{{/formula}} genau 5 Nullstellen.
28		-<br>
29		-(2) Die Aussage ist wahr. Zwischen {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=3{{/formula}} schließt {{formula}}K_g{{/formula}} mit der x-Achse eine größere Fläche ein als zwischen {{formula}}x=3{{/formula}} und {{formula}}x=4{{/formula}}. Die erste Fläche liegt über der x-Achse, also ist das Integral positiv. Die zweite Fläche liegt unter der x-Achse, also ist das Integral negativ. Somit ist die Flächenbilanz positiv.
30		-<br>
31		-(3) Die Aussage ist falsch. Ab {{formula}}x=3{{/formula}} wird das Integral kleiner, da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt und somit negativ zum Integral beiträgt. Zwar steigt die Integralfunktion bis {{formula}}x=3{{/formula}}, aber ab {{formula}}x=3{{/formula}} fällt sie.
32		-{{/detail}}