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Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 2

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/14 15:53
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
2 <p>
3 (1) Die Aussage ist wahr. Am Graph {{formula}}K_g{{/formula}} ist ersichtlich, dass dieser 5 Stellen mit waagrechter Tangente aufweist.
4 </p><p>
5 (2) Die Aussage ist wahr. Zwischen {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=3{{/formula}} schließt {{formula}}K_g{{/formula}} mit der x-Achse eine größere Fläche ein als zwischen {{formula}}x=3{{/formula}} und {{formula}}x=4{{/formula}}. Somit ist die Flächenbilanz positiv.
6 </p>
7 (3) Die Aussage ist falsch. Es gilt {{formula}}J^\prime(x)=g(x){{/formula}}. {{formula}}g{{/formula}} weist beispielsweise für {{formula}}x=3,5{{/formula}} einen negativen Funktionswert auf. Somit ist {{formula}}J{{/formula}} an dieser Stelle nicht monoton wachsend.
8 {{/detail}}
9
10
11 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
12 //Aufgabenstellung//
13 <br>
14 Die Abbildung zeigt den Graphen {{formula}}K_g{{/formula}} einer Funktion {{formula}}g{{/formula}} im Definitionsbereich {{formula}}-4\le x\le4{{/formula}}.
15 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.
16 <br>
17 [[image:GraphAufgabe2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
18 <br>
19 (1) Die zugehörige Ableitungsfunktion {{formula}}g^\prime{{/formula}} hat genau 5 Nullstellen.
20 <br>
21 (2) Es gilt: {{formula}}\int_{0}^{4}{g(x)\mathrm{d} x>0}{{/formula}}
22 <br><p>
23 (3) Die Integralfunktion {{formula}}J{{/formula}} mit {{formula}}J(x)=\int_{0}^{x}{g(t)\mathrm{d} t}{{/formula}} ist für {{formula}}0\le x\le4{{/formula}} monoton wachsend.
24 </p>
25 //Lösung//
26 <br>
27 (1) Die Aussage ist wahr. Am Graph {{formula}}K_g{{/formula}} ist ersichtlich, dass dieser 5 Stellen mit waagrechter Tangente aufweist. Und da die Steigung der Tangente die erste Ableitung ist, hat {{formula}}g^\prime{{/formula}} genau 5 Nullstellen.
28 <br>
29 (2) Die Aussage ist wahr. Zwischen {{formula}}x=0{{/formula}} und {{formula}}x=3{{/formula}} schließt {{formula}}K_g{{/formula}} mit der x-Achse eine größere Fläche ein als zwischen {{formula}}x=3{{/formula}} und {{formula}}x=4{{/formula}}. Die erste Fläche liegt über der x-Achse, also ist das Integral positiv. Die zweite Fläche liegt unter der x-Achse, also ist das Integral negativ. Somit ist die Flächenbilanz positiv.
30 <br>
31 (3) Die Aussage ist falsch. Ab {{formula}}x=3{{/formula}} wird das Integral kleiner, da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt und somit negativ zum Integral beiträgt. Zwar steigt die Integralfunktion bis {{formula}}x=3{{/formula}}, aber ab {{formula}}x=3{{/formula}} fällt sie.
32 {{/detail}}