Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra
Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/27 22:41
Zusammenfassung
-
Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
Details
- Seiteneigenschaften
-
- Inhalt
-
... ... @@ -132,10 +132,9 @@ 132 132 <br> 133 133 {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}} 134 134 <br> 135 -Da der Baumstumpf im Punkt {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben. 135 +Da der Baumstumpf im Punkte {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben. 136 136 <br> 137 137 Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich: 138 -<br> 139 139 {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}} 140 140 <br> 141 141 Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man: ... ... @@ -142,7 +142,7 @@ 142 142 <br> 143 143 {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}} 144 144 <br> 145 -Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden. 144 +Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75 m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8 m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden. 146 146 147 147 {{/detail}} 148 148 ... ... @@ -155,25 +155,6 @@ 155 155 {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}} 156 156 {{/detail}} 157 157 158 - 159 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 160 -//Aufgabenstellung// 161 -<br><p> 162 -Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. 163 -</p> 164 -//Lösung// 165 -<br> 166 -Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden. 167 -<br> 168 -{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}} 169 -<br> 170 -{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}} 171 -<br> 172 -{{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}} 173 -<br> 174 -Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck. 175 -{{/detail}} 176 - 177 177 === Teilaufgabe f) === 178 178 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 179 179 {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}} ... ... @@ -188,60 +188,10 @@ 188 188 <br><p> 189 189 Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant. 190 190 </p> 191 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 171 +Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}. 192 192 {{/detail}} 193 193 194 - 195 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 196 -//Aufgabenstellung// 197 -<br><p> 198 -Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht. 199 -</p> 200 -//Lösung// 201 -<br> 202 -Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden. 203 -<br> 204 -{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}} 205 -<br> 206 -Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen. 207 -<br> 208 - 209 -{{formula}} 210 -\begin{align} 211 - |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\ 212 - \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\ 213 - \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\ 214 - \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\ 215 - \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56 216 -\end{align} 217 -{{/formula}} 218 - 219 -D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig. 220 -<br><p> 221 -Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses. 222 -</p> 223 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}. 224 -{{/detail}} 225 - 226 226 === Teilaufgabe g) === 227 227 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 228 228 Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden. 229 229 {{/detail}} 230 - 231 - 232 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 233 -//Aufgabenstellung// 234 -<br> 235 - Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz: 236 -<br> 237 -{{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}} 238 -<br><p> 239 -Interpretiere diesen Ansatz. 240 -</p> 241 -//Lösung// 242 -<br> 243 -Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen. 244 -Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen. 245 -Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden. 246 -{{/detail}} 247 -