Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra
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Zusammenfassung
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Details
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- Inhalt
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... ... @@ -154,6 +154,25 @@ 154 154 {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}} 155 155 {{/detail}} 156 156 157 + 158 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 159 +//Aufgabenstellung// 160 +<br><p> 161 +Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. 162 +</p> 163 +//Lösung// 164 +<br> 165 +Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden. 166 +<br> 167 +{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}} 168 +<br> 169 +{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}} 170 +<br> 171 +{{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}} 172 +<br> 173 +Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck. 174 +{{/detail}} 175 + 157 157 === Teilaufgabe f) === 158 158 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 159 159 {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}} ... ... @@ -168,10 +168,61 @@ 168 168 <br><p> 169 169 Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant. 170 170 </p> 171 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}. 190 +Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}. 172 172 {{/detail}} 173 173 193 + 194 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 195 +//Aufgabenstellung// 196 +<br><p> 197 +Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht. 198 +</p> 199 +//Lösung// 200 +<br> 201 +Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden. 202 +<br> 203 +{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}} 204 +<br> 205 +Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen. 206 +<br> 207 + 208 +{{formula}} 209 +\begin{align} 210 + |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\ 211 + \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\ 212 + \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\ 213 + \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\ 214 + \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56 215 +\end{align} 216 +{{/formula}} 217 + 218 +<br> 219 +D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig. 220 +<br><p> 221 +Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses. 222 +</p> 223 +Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}. 224 +{{/detail}} 225 + 174 174 === Teilaufgabe g) === 175 175 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 176 176 Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden. 177 177 {{/detail}} 230 + 231 + 232 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 233 +//Aufgabenstellung// 234 +<br> 235 + Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz: 236 +<br> 237 +{{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}} 238 +<br><p> 239 +Interpretiere diesen Ansatz. 240 +</p> 241 +//Lösung// 242 +<br> 243 +Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen. 244 +Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen. 245 +Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden. 246 +{{/detail}} 247 +