2024 eAN - Teil B - Lineare Algebra - Aufgabensatz II

Aufgabe 1  Lineare Algebra 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte  und  sowie die Gerade  mit

Die Gerade  verläuft durch die Punkte  und .

1. [4 BE] Zeige, dass die Geraden  und  in einer gemeinsamen Ebene  liegen. 
2. [3 BE] Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene .
   (Zur Kontrolle  
3. [3 BE] Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von .
   Stelle die Ebene  mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar. 

Die Punkte  und  sind gegenüberliegende Eckpunkte eines in der Ebene  liegenden Quadrats  mit Mittelpunkt .
Dieses Quadrat  ist die Grundfläche einer geraden Pyramide, d.h. der Verbindungsvektor von  und der Spitze der Pyramide ist orthogonal zur Grundfläche.

4. [5 BE] Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten  hat.
   Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes .
5. [3 BE] Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat. 

Eine weitere gerade Pyramide mit der Grundfläche  hat die Spitze   und wird aus der -Richtung beleuchtet. Es entsteht ein Schatten in der Ebene .
Der Schattenpunkt der Spitze  ist .

6. [7 BE] Begründe, dass der Schattenpunkt  außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
   Berechne die Koordinaten der Spitze .