Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.marcel
++XWiki.akukin

Inhalt

@@ -5,58 +5,6 @@
  {{formula}}g\cap h{{/formula}}  ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
  {{/detail}}
--
--{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
--<br>
--{{formula}}g:   \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC};   \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
--<br>
--Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
--  <br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
--<br>
--{{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
--<br>
--  g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
--  <br>
--<br>
--  2) Prüfen, ob sie sich schneiden:
--<br>
--{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
--<br>
--Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
--
--{{formula}}
--\left\{
--\begin{aligned}
--0 + 1s &= 5 + 3r \\
--3 - 2s &= -3 - 4r \\
--0 + 2s &= 2 + 2r
--\end{aligned}
--\right\}
--\Leftrightarrow
--\left\{
--\begin{aligned}
--s - 3r &= 5 \\
---2s + 4r &= -6 \\
--2s - 2r &= 2
--\end{aligned}
--\right\}
--\Leftrightarrow
--r = -2 \land s = -1
--{{/formula}}
--
--Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und deeswegen liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
--
--{{/detail}}
--
  === Teilaufgabe b) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
@@ -64,71 +64,13 @@
  Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
  {{/detail}}
--
--{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
--<br>
-- //(Zur Kontrolle  {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
--<br>
--Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
--<br>
--Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
--<br><p>
--Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
--</p>
--{{formula}}E:  4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
--<br>
--Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
--<br>
--{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b   \Leftrightarrow  b=12{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}E:  4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
--<br>
--Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
--<br>
--{{formula}}E:  2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
--{{/detail}}
--
  === Teilaufgabe c) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  Spurpunkt {{formula}}S_1:  x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
  <br>
  Analog:  {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
--[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
  {{/detail}}
--
--{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
--<br>
--Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
--</p>
--//Lösung//
--<br><p>
--Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
--</p><p>
--Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
--</p>
--Spurpunkte:
--<br>
--{{formula}}S_1:  x_2=x_3=0  \ \Rightarrow \  x_1=3; \  S_1(3|0|0){{/formula}}
--<br>
--{{formula}}S_2:  x_1=x_3=0   \ \Rightarrow  \  x_2=3;  \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
--<br>
--{{formula}}S_3:  x_1=x_2=0 \  \Rightarrow \  x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
--<br>
--Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
--[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
--{{/detail}}
--
  === Teilaufgabe d) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E:  2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
@@ -140,40 +140,9 @@
  Mit  {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
  {{/detail}}
--
--{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
--<br>
--Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
--<br>
--{{formula}}E:  2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6  \quad (\text{w}){{/formula}}
--<br><p>
--Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
--</p>
--Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
--<br>
--{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
--<br><p>
--Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
--</p>
--Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
--<br>
--{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)  =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
--<br>
--Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
--{{/detail}}
--
  === Teilaufgabe e) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
--Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
++Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
  <br>
  Normalenvektor von {{formula}}E:  \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}
  <br>
@@ -180,33 +180,6 @@
  Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
  {{/detail}}
--
--{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
--<br>
--Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
--<br>
--Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
--<br>
--Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
--<br>
--Normalenvektor von {{formula}}E:  \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
--<br>
--Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
--<br>
--Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
--<br>
--{{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
--<br>
--Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
--{{/detail}}
--
  === Teilaufgabe f) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
@@ -213,30 +213,5 @@
  <br>
  {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
  <br>
--{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
++{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
  {{/detail}}
--
--
--{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
--<br>
--Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
--</p>
--//Lösung//
--<br><p>
--Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
--</p>
--Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
--<br>
--Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
--<br>
--Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
--<br>
--{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
--
--{{/detail}}
--

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