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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:59
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.marcel
Inhalt
... ... @@ -5,6 +5,60 @@
5 5  {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 +
9 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 +//Aufgabenstellung//
11 +<br><p>
12 +Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 +</p>
14 +//Lösung//
15 +<br>
16 +Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 +<br>
18 +{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 +<br>
20 +{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 +<br>
22 +Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
23 +<br>
24 +<br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
25 +<br>
26 +{{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
27 +<br>
28 +g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
29 +<br>
30 +<br>
31 + 2) Prüfen, ob sich die Geraden schneiden:
32 +<br>
33 +{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
34 +<br>
35 +Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
36 +
37 +{{formula}}
38 +\left\{
39 +\begin{aligned}
40 +0 + 1s &= 5 + 3r \\
41 +3 - 2s &= -3 - 4r \\
42 +0 + 2s &= 2 + 2r
43 +\end{aligned}
44 +\right\}
45 +\Leftrightarrow
46 +\left\{
47 +\begin{aligned}
48 +s - 3r &= 5 \\
49 +-2s + 4r &= -6 \\
50 +2s - 2r &= 2
51 +\end{aligned}
52 +\right\}
53 +\Leftrightarrow
54 +r = -2 \land s = -1
55 +{{/formula}}
56 +<br>
57 +<br>
58 +Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und somit liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
59 +
60 +{{/detail}}
61 +
8 8  === Teilaufgabe b) ===
9 9  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
10 10  Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
... ... @@ -12,6 +12,37 @@
12 12  Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
13 13  {{/detail}}
14 14  
69 +
70 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71 +//Aufgabenstellung//
72 +<br><p>
73 +Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
74 +<br>
75 + //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
76 +</p>
77 +//Lösung//
78 +<br>
79 +Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
80 +<br>
81 +Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
82 +<br>
83 +Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
84 +<br><p>
85 +Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
86 +</p>
87 +{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
88 +<br>
89 +Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
90 +<br>
91 +{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
92 +<br>
93 +{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
94 +<br>
95 +Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
96 +<br>
97 +{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
98 +{{/detail}}
99 +
15 15  === Teilaufgabe c) ===
16 16  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
17 17  Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
... ... @@ -20,6 +20,32 @@
20 20  [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
21 21  {{/detail}}
22 22  
108 +
109 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 +//Aufgabenstellung//
111 +<br><p>
112 +Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
113 +<br>
114 +Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
115 +</p>
116 +//Lösung//
117 +<br><p>
118 +Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
119 +</p><p>
120 +Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
121 +</p>
122 +Spurpunkte:
123 +<br>
124 +{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
125 +<br>
126 +{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
127 +<br>
128 +{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
129 +<br>
130 +Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
131 +[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
132 +{{/detail}}
133 +
23 23  === Teilaufgabe d) ===
24 24  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
25 25  Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
... ... @@ -31,6 +31,39 @@
31 31  Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
32 32  {{/detail}}
33 33  
145 +
146 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
147 +//Aufgabenstellung//
148 +<br><p>
149 +Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
150 +<br>
151 +Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
152 +</p>
153 +//Lösung//
154 +<br>
155 +Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
156 +<br>
157 +{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 {{/formula}}
158 + <br>
159 +{{formula}}\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad 6=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
160 +<br><p>
161 +Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
162 +</p>
163 +Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
164 +<br>
165 +{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
166 +<br>
167 +{{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
168 +<br><p>
169 +Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
170 +</p>
171 +Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
172 +<br>
173 +{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
174 +<br>
175 +Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
176 +{{/detail}}
177 +
34 34  === Teilaufgabe e) ===
35 35  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
36 36  Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
... ... @@ -40,6 +40,33 @@
40 40  Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
41 41  {{/detail}}
42 42  
187 +
188 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
189 +//Aufgabenstellung//
190 +<br><p>
191 +Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
192 +</p>
193 +//Lösung//
194 +<br>
195 +Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
196 +<br>
197 +Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
198 +<br>
199 +Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
200 +<br>
201 +Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
202 +<br>
203 +Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
204 +<br>
205 +Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
206 +<br>
207 +Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
208 +<br>
209 +{{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
210 +<br>
211 +Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
212 +{{/detail}}
213 +
43 43  === Teilaufgabe f) ===
44 44  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
45 45  Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
... ... @@ -48,3 +48,28 @@
48 48  <br>
49 49  {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
50 50  {{/detail}}
222 +
223 +
224 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
225 +//Aufgabenstellung//
226 +<br><p>
227 +Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
228 +<br>
229 +Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
230 +</p>
231 +//Lösung//
232 +<br><p>
233 +Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
234 +</p>
235 +Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
236 +<br>
237 +Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
238 +<br>
239 +Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
240 +<br>
241 +{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
242 +<br>
243 +{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
244 +
245 +{{/detail}}
246 +
Skizze-Teilaufgabe-b.png
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