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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/31 23:45
Von Version 4.1
bearbeitet von akukin
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am 2025/01/29 00:15
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,50 +5,6 @@
5 5  {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 -
9 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -//Aufgabenstellung//
11 -<br><p>
12 -Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 -</p>
14 -//Lösung//
15 -<br>
16 -Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 -<br>
18 -{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 -<br>
20 -{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 -<br>
22 -Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
23 -<br>
24 -{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
25 -<br>
26 -Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
27 -
28 -{{formula}}
29 -\left\{
30 -\begin{aligned}
31 -0 + 1s &= 5 + 3r \\
32 -3 - 2s &= -3 - 4r \\
33 -0 + 2s &= 2 + 2r
34 -\end{aligned}
35 -\right\}
36 -\Leftrightarrow
37 -\left\{
38 -\begin{aligned}
39 -s - 3r &= 5 \\
40 --2s + 4r &= -6 \\
41 -2s - 2r &= 2
42 -\end{aligned}
43 -\right\}
44 -\Leftrightarrow
45 -r = -2 \land s = -1
46 -{{/formula}}
47 -
48 -Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49 -
50 -{{/detail}}
51 -
52 52  === Teilaufgabe b) ===
53 53  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
54 54  Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
... ... @@ -56,37 +56,6 @@
56 56  Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
57 57  {{/detail}}
58 58  
59 -
60 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
61 -//Aufgabenstellung//
62 -<br><p>
63 -Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
64 -<br>
65 - //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
66 -</p>
67 -//Lösung//
68 -<br>
69 -Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
70 -<br>
71 -Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
72 -<br>
73 -Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
74 -<br><p>
75 -Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
76 -</p>
77 -{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
78 -<br>
79 -Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
80 -<br>
81 -{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
82 -<br>
83 -{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
84 -<br>
85 -Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
86 -<br>
87 -{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
88 -{{/detail}}
89 -
90 90  === Teilaufgabe c) ===
91 91  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
92 92  Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}