Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra
Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/31 23:45
Zusammenfassung
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Details
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... ... @@ -5,50 +5,6 @@ 5 5 {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene. 6 6 {{/detail}} 7 7 8 - 9 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 10 -//Aufgabenstellung// 11 -<br><p> 12 -Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen. 13 -</p> 14 -//Lösung// 15 -<br> 16 -Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}. 17 -<br> 18 -{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}} 19 -<br> 20 -{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}} 21 -<br> 22 -Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden. 23 -<br> 24 -{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}} 25 -<br> 26 -Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}: 27 - 28 -{{formula}} 29 -\left\{ 30 -\begin{aligned} 31 -0 + 1s &= 5 + 3r \\ 32 -3 - 2s &= -3 - 4r \\ 33 -0 + 2s &= 2 + 2r 34 -\end{aligned} 35 -\right\} 36 -\Leftrightarrow 37 -\left\{ 38 -\begin{aligned} 39 -s - 3r &= 5 \\ 40 --2s + 4r &= -6 \\ 41 -2s - 2r &= 2 42 -\end{aligned} 43 -\right\} 44 -\Leftrightarrow 45 -r = -2 \land s = -1 46 -{{/formula}} 47 - 48 -Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene. 49 - 50 -{{/detail}} 51 - 52 52 === Teilaufgabe b) === 53 53 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 54 54 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}} ... ... @@ -56,71 +56,13 @@ 56 56 Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}} 57 57 {{/detail}} 58 58 59 - 60 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 61 -//Aufgabenstellung// 62 -<br><p> 63 -Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}. 64 -<br> 65 - //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}// 66 -</p> 67 -//Lösung// 68 -<br> 69 -Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}. 70 -<br> 71 -Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene. 72 -<br> 73 -Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}} 74 -<br><p> 75 -Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist. 76 -</p> 77 -{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}} 78 -<br> 79 -Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}. 80 -<br> 81 -{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}} 82 -<br> 83 -{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}} 84 -<br> 85 -Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden. 86 -<br> 87 -{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}} 88 -{{/detail}} 89 - 90 90 === Teilaufgabe c) === 91 91 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 92 92 Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}} 93 93 <br> 94 94 Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}} 95 -[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 96 96 {{/detail}} 97 97 98 - 99 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 100 -//Aufgabenstellung// 101 -<br><p> 102 -Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}. 103 -<br> 104 -Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar. 105 -</p> 106 -//Lösung// 107 -<br><p> 108 -Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen. 109 -</p><p> 110 -Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln. 111 -</p> 112 -Spurpunkte: 113 -<br> 114 -{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}} 115 -<br> 116 -{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}} 117 -<br> 118 -{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}} 119 -<br> 120 -Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene. 121 -[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 122 -{{/detail}} 123 - 124 124 === Teilaufgabe d) === 125 125 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 126 126 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}} ... ... @@ -132,40 +132,9 @@ 132 132 Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}. 133 133 {{/detail}} 134 134 135 - 136 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 137 -//Aufgabenstellung// 138 -<br><p> 139 -Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat. 140 -<br> 141 -Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}. 142 -</p> 143 -//Lösung// 144 -<br> 145 -Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt. 146 -<br> 147 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}} 148 -<br><p> 149 -Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene. 150 -</p> 151 -Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten. 152 -<br> 153 -{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}} 154 -<br> 155 -{{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}} 156 -<br><p> 157 -Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats. 158 -</p> 159 -Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann). 160 -<br> 161 -{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}} 162 -<br> 163 -Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}. 164 -{{/detail}} 165 - 166 166 === Teilaufgabe e) === 167 167 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 168 -Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}) =\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}35 +Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}} 169 169 <br> 170 170 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}} 171 171 <br> ... ... @@ -172,33 +172,6 @@ 172 172 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}. 173 173 {{/detail}} 174 174 175 - 176 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 177 -//Aufgabenstellung// 178 -<br><p> 179 -Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat. 180 -</p> 181 -//Lösung// 182 -<br> 183 -Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.) 184 -<br> 185 -Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}} 186 -<br> 187 -Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt. 188 -<br> 189 -Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung. 190 -<br> 191 -Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} 192 -<br> 193 -Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze. 194 -<br> 195 -Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag. 196 -<br> 197 -{{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} 198 -<br> 199 -Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}. 200 -{{/detail}} 201 - 202 202 === Teilaufgabe f) === 203 203 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 204 204 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen. ... ... @@ -205,30 +205,5 @@ 205 205 <br> 206 206 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}} 207 207 <br> 208 -{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{ /formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.48 +{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}. 209 209 {{/detail}} 210 - 211 - 212 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 213 -//Aufgabenstellung// 214 -<br><p> 215 -Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt. 216 -<br> 217 -Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}. 218 -</p> 219 -//Lösung// 220 -<br><p> 221 -Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen. 222 -</p> 223 -Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}. 224 -<br> 225 -Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet). 226 -<br> 227 -Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen: 228 -<br> 229 -{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}} 230 -<br> 231 -{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}. 232 - 233 -{{/detail}} 234 -
- LösungB3.2.png
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