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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 4.1 von akukin am 2025/01/30 23:28
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
4 <br>
5 {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 //Aufgabenstellung//
11 <br><p>
12 Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 <br>
18 {{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 <br>
20 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 <br>
22 Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
23 <br>
24 {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
25 <br>
26 Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
27
28 {{formula}}
29 \left\{
30 \begin{aligned}
31 0 + 1s &= 5 + 3r \\
32 3 - 2s &= -3 - 4r \\
33 0 + 2s &= 2 + 2r
34 \end{aligned}
35 \right\}
36 \Leftrightarrow
37 \left\{
38 \begin{aligned}
39 s - 3r &= 5 \\
40 -2s + 4r &= -6 \\
41 2s - 2r &= 2
42 \end{aligned}
43 \right\}
44 \Leftrightarrow
45 r = -2 \land s = -1
46 {{/formula}}
47
48 Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49
50 {{/detail}}
51
52 === Teilaufgabe b) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
54 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
55 <br>
56 Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
57 {{/detail}}
58
59
60 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
61 //Aufgabenstellung//
62 <br><p>
63 Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
64 <br>
65 //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
66 </p>
67 //Lösung//
68 <br>
69 Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
70 <br>
71 Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
72 <br>
73 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
74 <br><p>
75 Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
76 </p>
77 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
78 <br>
79 Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
80 <br>
81 {{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
82 <br>
83 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
84 <br>
85 Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
86 <br>
87 {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
88 {{/detail}}
89
90 === Teilaufgabe c) ===
91 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
92 Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
93 <br>
94 Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
95 [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
96 {{/detail}}
97
98 === Teilaufgabe d) ===
99 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
100 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
101 <br>
102 {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}{{/formula}}
103 <br>
104 Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
105 <br>
106 Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
107 {{/detail}}
108
109 === Teilaufgabe e) ===
110 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
111 Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
112 <br>
113 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}
114 <br>
115 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
116 {{/detail}}
117
118 === Teilaufgabe f) ===
119 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
120 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
121 <br>
122 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
123 <br>
124 {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
125 {{/detail}}