Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
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Zusammenfassung
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Details
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- Inhalt
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... ... @@ -3,6 +3,21 @@ 3 3 Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %. 4 4 {{/detail}} 5 5 6 + 7 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 8 +//Aufgabenstellung// 9 +<br><p> 10 +Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}. 11 +<br> 12 +Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang. 13 +</p> 14 +//Lösung// 15 +<br> 16 +Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}. 17 +<br> 18 +Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %. 19 +{{/detail}} 20 + 6 6 === Teilaufgabe b) === 7 7 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 8 8 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. ... ... @@ -12,6 +12,25 @@ 12 12 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} 13 13 {{/detail}} 14 14 30 + 31 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 32 +//Aufgabenstellung// 33 +<br><p> 34 + Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: 35 +<br> 36 +{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an. 37 +<br> 38 +{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an. 39 +</p> 40 +//Lösung// 41 +<br> 42 +{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. 43 +<br> 44 +{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf) 45 +<br> 46 +{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 47 +{{/detail}} 48 + 15 15 === Teilaufgabe c) === 16 16 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 17 17 <p> ... ... @@ -25,6 +25,38 @@ 25 25 =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}} 26 26 {{/detail}} 27 27 62 + 63 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 64 +//Aufgabenstellung// 65 +<br><p> 66 +Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt. 67 +{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts. 68 +Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht. 69 +</p> 70 +//Lösung// 71 +<br> 72 +{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts 73 +</p> 74 +{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. 75 +<br> 76 +Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe 77 +<br> 78 +Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}}, 79 +<br> 80 +Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}} 81 +<br> 82 +{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694) 83 +=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}} 84 +<br> 85 +Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt. 86 +<br> 87 +{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}} 88 +<br><p> 89 +Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden. 90 +</p> 91 +{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 92 +{{/detail}} 93 + 28 28 === Teilaufgabe d) === 29 29 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 30 30 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs ... ... @@ -31,7 +31,7 @@ 31 31 <br> 32 32 {{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}} 33 33 <br> 34 -{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V \right)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}100 +{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}} 35 35 <br> 36 36 {{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}} 37 37 <br> ... ... @@ -40,21 +40,91 @@ 40 40 Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig. 41 41 {{/detail}} 42 42 109 + 110 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 111 +//Aufgabenstellung// 112 +<br><p> 113 +Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 114 +(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“ 115 +* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ 116 +* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“))) 117 +den Lauf abgebrochen. 118 +</p> 119 +//Lösung// 120 +<br> 121 +{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs 122 +<br> 123 +Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick. 124 +(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %) 125 +| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 126 +|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,, 127 +|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,, 128 +|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100% 129 + 130 +Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte 131 +<br> 132 +Schwarz: Angaben aus dem Text 133 +<br> 134 +(% style="color:green" %) ((( 135 +Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) 136 +))) 137 +(% style="color:red" %) ((( 138 +Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}} 139 +))) 140 +<br> 141 +Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe) 142 +<br> 143 +{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}} 144 +{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}} 145 +<br> 146 +Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}} 147 +<br> 148 +Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig. 149 + 150 +{{/detail}} 151 + 43 43 === Teilaufgabe e) === 44 44 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 45 -{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}154 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; 46 46 <br> 156 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}} 157 +<br> 47 47 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}. 159 +<br> 48 48 {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}} 49 49 <br> 50 50 Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327. 51 51 {{/detail}} 52 52 165 + 166 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 167 +//Aufgabenstellung// 168 +<br><p> 169 + Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist. 170 +</p> 171 +//Lösung// 172 +<br> 173 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; 174 +<br> 175 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}} 176 +<br><p> 177 +Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}. 178 +</p> 179 +Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man: 180 +<br> 181 +{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}} 182 +<br> 183 +Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327. 184 +{{/detail}} 185 + 186 + 53 53 === Teilaufgabe f) === 54 54 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 55 55 {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten 56 56 <br> 57 57 {{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}}) 192 +<br> 58 58 {{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}}) 194 +<br> 59 59 {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}} 60 60 {{/detail}}