Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -3,6 +3,21 @@
  Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
++<br>
++Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
++<br>
++Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe b) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
@@ -12,6 +12,25 @@
  {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++ Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
++<br>
++{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
++<br>
++{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
++<br>
++{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
++<br>
++{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe c) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  <p>
@@ -25,6 +25,38 @@
  =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
++{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
++Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
++</p>
++{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und  {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
++<br>
++Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
++<br>
++Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
++<br>
++Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
++<br>
++{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
++=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
++<br>
++Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
++<br>
++{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
++<br><p>
++Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
++</p>
++{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}}  (Taschenrechner: binomialcdf)
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe d) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
@@ -31,7 +31,7 @@
  <br>
  {{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
  <br>
--{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V\right)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
++{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
  <br>
  {{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
  <br>
@@ -40,21 +40,91 @@
  Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
++(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
++* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
++* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
++den Lauf abgebrochen.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
++<br>
++Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
++(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
++| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
++|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
++|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
++|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
++
++Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
++<br>
++Schwarz: Angaben aus dem Text
++<br>
++(% style="color:green" %) (((
++Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
++)))
++(% style="color:red" %) (((
++Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
++)))
++<br>
++Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
++<br>
++{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
++{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
++<br>
++Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
++<br>
++Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
++
++{{/detail}}
++
  === Teilaufgabe e) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
--{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
++{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
  <br>
++{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
++<br>
  Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
++<br>
  {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
  <br>
  Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++ Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
++<br>
++{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
++<br><p>
++Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
++</p>
++Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
++<br>
++{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
++<br>
++Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
++{{/detail}}
++
++
  === Teilaufgabe f) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
  <br>
  {{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}}  (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
++<br>
  {{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}}   (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
++<br>
  {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
  {{/detail}}

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