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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:26
Von Version 1.2
bearbeitet von akukin
am 2025/01/16 18:26
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bearbeitet von akukin
am 2025/01/16 18:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -3,6 +3,21 @@
3 3  Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
4 4  {{/detail}}
5 5  
6 +
7 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 +//Aufgabenstellung//
9 +<br><p>
10 +Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
11 +<br>
12 +Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
13 +</p>
14 +//Lösung//
15 +<br>
16 +Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
17 +<br>
18 +Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
19 +{{/detail}}
20 +
6 6  === Teilaufgabe b) ===
7 7  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
8 8  {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
... ... @@ -12,6 +12,25 @@
12 12  {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
13 13  {{/detail}}
14 14  
30 +
31 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 +//Aufgabenstellung//
33 +<br><p>
34 + Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
35 +<br>
36 +{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
37 +<br>
38 +{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
39 +</p>
40 +//Lösung//
41 +<br>
42 +{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43 +<br>
44 +{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 +<br>
46 +{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 +{{/detail}}
48 +
15 15  === Teilaufgabe c) ===
16 16  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
17 17  <p>
... ... @@ -25,6 +25,38 @@
25 25  =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
26 26  {{/detail}}
27 27  
62 +
63 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64 +//Aufgabenstellung//
65 +<br><p>
66 +Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
67 +{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
68 +Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
69 +</p>
70 +//Lösung//
71 +<br>
72 +{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
73 +</p>
74 +{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
75 +<br>
76 +Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
77 +<br>
78 +Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
79 +<br>
80 +Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
81 +<br>
82 +{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
83 +=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
84 +<br>
85 +Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
86 +<br>
87 +{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
88 +<br><p>
89 +Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
90 +</p>
91 +{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
92 +{{/detail}}
93 +
28 28  === Teilaufgabe d) ===
29 29  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
30 30  {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
... ... @@ -40,6 +40,44 @@
40 40  Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
41 41  {{/detail}}
42 42  
109 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 +//Aufgabenstellung//
111 +<br><p>
112 +Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
113 +(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
114 +* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
115 +* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
116 +den Lauf abgebrochen.
117 +</p>
118 +//Lösung//
119 +<br>
120 +{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
121 +Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
122 +(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
123 +| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
124 +|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
125 +|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
126 +|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
127 +
128 +Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
129 +<br>
130 +Schwarz: Angaben aus dem Text
131 +<br>
132 +(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“))))
133 +<br><p>
134 +(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}})))
135 +</p>
136 +Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
137 +<br>
138 +{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
139 +{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
140 +<br>
141 +Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
142 +<br>
143 +Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
144 +
145 +{{/detail}}
146 +
43 43  === Teilaufgabe e) ===
44 44  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
45 45  {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}