Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:26
Zusammenfassung
-
Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
Details
- Seiteneigenschaften
-
- Inhalt
-
... ... @@ -3,6 +3,21 @@ 3 3 Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %. 4 4 {{/detail}} 5 5 6 + 7 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 8 +//Aufgabenstellung// 9 +<br><p> 10 +Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}. 11 +<br> 12 +Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang. 13 +</p> 14 +//Lösung// 15 +<br> 16 +Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}. 17 +<br> 18 +Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %. 19 +{{/detail}} 20 + 6 6 === Teilaufgabe b) === 7 7 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 8 8 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. ... ... @@ -12,6 +12,25 @@ 12 12 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} 13 13 {{/detail}} 14 14 30 + 31 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 32 +//Aufgabenstellung// 33 +<br><p> 34 + Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: 35 +<br> 36 +{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an. 37 +<br> 38 +{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an. 39 +</p> 40 +//Lösung// 41 +<br> 42 +{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. 43 +<br> 44 +{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf) 45 +<br> 46 +{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 47 +{{/detail}} 48 + 15 15 === Teilaufgabe c) === 16 16 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 17 17 <p> ... ... @@ -25,6 +25,35 @@ 25 25 =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}} 26 26 {{/detail}} 27 27 62 + 63 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 64 +//Aufgabenstellung// 65 +<br><p> 66 +Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt. 67 +{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts. 68 +Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht. 69 +</p> 70 +//Lösung// 71 +<br> 72 +{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts 73 +<br> 74 +{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. 75 +<br> 76 +Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe. 77 +<br> 78 +Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}}, 79 +<br><p> 80 +Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}} 81 +</p> 82 +Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt. 83 +<br> 84 +{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}} 85 +<br><p> 86 +Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden. 87 +</p> 88 +{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 89 +{{/detail}} 90 + 28 28 === Teilaufgabe d) === 29 29 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 30 30 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs ... ... @@ -40,10 +40,56 @@ 40 40 Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig. 41 41 {{/detail}} 42 42 106 + 107 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 108 +//Aufgabenstellung// 109 +<br><p> 110 +Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 111 +(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“ 112 +* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ 113 +* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“))) 114 +den Lauf abgebrochen. 115 +</p> 116 +//Lösung// 117 +<br> 118 +{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs 119 +<br> 120 +Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick. 121 +(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %) 122 +| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 123 +|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,, 124 +|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,, 125 +|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100% 126 + 127 +Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte 128 +<br> 129 +Schwarz: Angaben aus dem Text 130 +<br> 131 +(% style="color:green" %) ((( 132 +Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) 133 +))) 134 +(% style="color:red" %) ((( 135 +Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}} 136 +))) 137 +<br> 138 +Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe) 139 +<br> 140 +{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}} 141 +<br> 142 +{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}} 143 +<br> 144 +Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}} 145 +<br> 146 +Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig. 147 + 148 +{{/detail}} 149 + 43 43 === Teilaufgabe e) === 44 44 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 45 -{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}152 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; 46 46 <br> 154 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}} 155 +<br> 47 47 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}. 48 48 <br> 49 49 {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}} ... ... @@ -51,6 +51,28 @@ 51 51 Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327. 52 52 {{/detail}} 53 53 163 + 164 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 165 +//Aufgabenstellung// 166 +<br><p> 167 + Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist. 168 +</p> 169 +//Lösung// 170 +<br> 171 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; 172 +<br> 173 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}} 174 +<br><p> 175 +Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}. 176 +</p> 177 +Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man: 178 +<br> 179 +{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}} 180 +<br> 181 +Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327. 182 +{{/detail}} 183 + 184 + 54 54 === Teilaufgabe f) === 55 55 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 56 56 {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten