Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -3,21 +3,6 @@
3 3  Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
4 4  {{/detail}}
5 5  
6 -
7 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -//Aufgabenstellung//
9 -<br><p>
10 -Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
11 -<br>
12 -Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
13 -</p>
14 -//Lösung//
15 -<br>
16 -Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
17 -<br>
18 -Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
19 -{{/detail}}
20 -
21 21  === Teilaufgabe b) ===
22 22  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
23 23  {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
... ... @@ -27,25 +27,6 @@
27 27  {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
28 28  {{/detail}}
29 29  
30 -
31 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 -//Aufgabenstellung//
33 -<br><p>
34 - Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
35 -<br>
36 -{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
37 -<br>
38 -{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
39 -</p>
40 -//Lösung//
41 -<br>
42 -{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43 -<br>
44 -{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 -<br>
46 -{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 -{{/detail}}
48 -
49 49  === Teilaufgabe c) ===
50 50  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
51 51  <p>
... ... @@ -59,38 +59,6 @@
59 59  =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
60 60  {{/detail}}
61 61  
62 -
63 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64 -//Aufgabenstellung//
65 -<br><p>
66 -Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
67 -{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
68 -Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
69 -</p>
70 -//Lösung//
71 -<br>
72 -{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
73 -</p>
74 -{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
75 -<br>
76 -Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
77 -<br>
78 -Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
79 -<br>
80 -Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
81 -<br>
82 -{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
83 -=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
84 -<br>
85 -Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
86 -<br>
87 -{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
88 -<br><p>
89 -Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
90 -</p>
91 -{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
92 -{{/detail}}
93 -
94 94  === Teilaufgabe d) ===
95 95  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
96 96  {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
... ... @@ -97,7 +97,7 @@
97 97  <br>
98 98  {{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
99 99  <br>
100 -{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
34 +{{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V\right)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
101 101  <br>
102 102  {{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
103 103  <br>
... ... @@ -106,50 +106,11 @@
106 106  Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
107 107  {{/detail}}
108 108  
109 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 -//Aufgabenstellung//
111 -<br><p>
112 -Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
113 -(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
114 -* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
115 -* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
116 -den Lauf abgebrochen.
117 -</p>
118 -//Lösung//
119 -<br>
120 -{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
121 -Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
122 -(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
123 -| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
124 -|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
125 -|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
126 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
127 -
128 -Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
129 -<br>
130 -Schwarz: Angaben aus dem Text
131 -<br>
132 -(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“))))
133 -<br><p>
134 -(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}})))
135 -</p>
136 -Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
137 -<br>
138 -{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
139 -{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
140 -<br>
141 -Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
142 -<br>
143 -Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
144 -
145 -{{/detail}}
146 -
147 147  === Teilaufgabe e) ===
148 148  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
149 149  {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
150 150  <br>
151 151  Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
152 -<br>
153 153  {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
154 154  <br>
155 155  Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
... ... @@ -160,8 +160,6 @@
160 160  {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
161 161  <br>
162 162  {{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
163 -<br>
164 164  {{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
165 -<br>
166 166  {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
167 167  {{/detail}}