Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
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Zusammenfassung
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Details
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- Inhalt
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... ... @@ -3,21 +3,6 @@ 3 3 Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %. 4 4 {{/detail}} 5 5 6 - 7 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 8 -//Aufgabenstellung// 9 -<br><p> 10 -Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}. 11 -<br> 12 -Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang. 13 -</p> 14 -//Lösung// 15 -<br> 16 -Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}. 17 -<br> 18 -Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %. 19 -{{/detail}} 20 - 21 21 === Teilaufgabe b) === 22 22 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 23 23 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. ... ... @@ -27,25 +27,6 @@ 27 27 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} 28 28 {{/detail}} 29 29 30 - 31 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 32 -//Aufgabenstellung// 33 -<br><p> 34 - Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: 35 -<br> 36 -{{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an. 37 -<br> 38 -{{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an. 39 -</p> 40 -//Lösung// 41 -<br> 42 -{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. 43 -<br> 44 -{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf) 45 -<br> 46 -{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 47 -{{/detail}} 48 - 49 49 === Teilaufgabe c) === 50 50 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 51 51 <p> ... ... @@ -59,38 +59,6 @@ 59 59 =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}} 60 60 {{/detail}} 61 61 62 - 63 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 64 -//Aufgabenstellung// 65 -<br><p> 66 -Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt. 67 -{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts. 68 -Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht. 69 -</p> 70 -//Lösung// 71 -<br> 72 -{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts 73 -</p> 74 -{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. 75 -<br> 76 -Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe 77 -<br> 78 -Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}}, 79 -<br> 80 -Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}} 81 -<br> 82 -{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694) 83 -=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}} 84 -<br> 85 -Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt. 86 -<br> 87 -{{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}} 88 -<br><p> 89 -Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden. 90 -</p> 91 -{{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 92 -{{/detail}} 93 - 94 94 === Teilaufgabe d) === 95 95 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 96 96 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs ... ... @@ -106,44 +106,6 @@ 106 106 Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig. 107 107 {{/detail}} 108 108 109 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 110 -//Aufgabenstellung// 111 -<br><p> 112 -Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 113 -(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“ 114 -* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ 115 -* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“))) 116 -den Lauf abgebrochen. 117 -</p> 118 -//Lösung// 119 -<br> 120 -{{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs 121 -Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick. 122 -(% class="border" style="width:60%;text-align:center" %) 123 -| |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 124 -|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,, 125 -|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,, 126 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100% 127 - 128 -Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte 129 -<br> 130 -Schwarz: Angaben aus dem Text 131 -<br> 132 -(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)))) 133 -<br><p> 134 -(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}}))) 135 -</p> 136 -Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe) 137 -<br> 138 -{{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}} 139 -{{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}} 140 -<br> 141 -Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}} 142 -<br> 143 -Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig. 144 - 145 -{{/detail}} 146 - 147 147 === Teilaufgabe e) === 148 148 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 149 149 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}