Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:26
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -43,7 +43,7 @@ 43 43 <br> 44 44 {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf) 45 45 <br> 46 -{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 46 +{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 47 47 {{/detail}} 48 48 49 49 === Teilaufgabe c) === ... ... @@ -70,18 +70,15 @@ 70 70 //Lösung// 71 71 <br> 72 72 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts 73 -< /p>73 +<br> 74 74 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}. 75 75 <br> 76 -Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe 76 +Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe. 77 77 <br> 78 78 Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}}, 79 -<br> 79 +<br><p> 80 80 Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}} 81 -<br> 82 -{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694) 83 -=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}} 84 -<br> 81 +</p> 85 85 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt. 86 86 <br> 87 87 {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}} ... ... @@ -106,6 +106,7 @@ 106 106 Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig. 107 107 {{/detail}} 108 108 106 + 109 109 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 110 110 //Aufgabenstellung// 111 111 <br><p> ... ... @@ -118,11 +118,12 @@ 118 118 //Lösung// 119 119 <br> 120 120 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs 119 +<br> 121 121 Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick. 122 122 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %) 123 123 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 124 -|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,, 125 -|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,, 123 +|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,, 124 +|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,, 126 126 |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100% 127 127 128 128 Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte ... ... @@ -129,13 +129,17 @@ 129 129 <br> 130 130 Schwarz: Angaben aus dem Text 131 131 <br> 132 -(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)))) 133 -<br><p> 134 -(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}}))) 135 -</p> 131 +(% style="color:green" %) ((( 132 +Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) 133 +))) 134 +(% style="color:red" %) ((( 135 +Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}} 136 +))) 137 +<br> 136 136 Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe) 137 137 <br> 138 138 {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}} 141 +<br> 139 139 {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}} 140 140 <br> 141 141 Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}} ... ... @@ -146,8 +146,10 @@ 146 146 147 147 === Teilaufgabe e) === 148 148 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 149 -{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}152 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; 150 150 <br> 154 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}} 155 +<br> 151 151 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}. 152 152 <br> 153 153 {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}} ... ... @@ -155,6 +155,28 @@ 155 155 Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327. 156 156 {{/detail}} 157 157 163 + 164 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 165 +//Aufgabenstellung// 166 +<br><p> 167 + Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist. 168 +</p> 169 +//Lösung// 170 +<br> 171 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; 172 +<br> 173 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}} 174 +<br><p> 175 +Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}. 176 +</p> 177 +Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man: 178 +<br> 179 +{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}} 180 +<br> 181 +Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327. 182 +{{/detail}} 183 + 184 + 158 158 === Teilaufgabe f) === 159 159 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}} 160 160 {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten