Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -43,7 +43,7 @@
43 43  <br>
44 44  {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 45  <br>
46 -{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
46 +{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -70,18 +70,15 @@
70 70  //Lösung//
71 71  <br>
72 72  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
73 -</p>
73 +<br>
74 74  {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
75 75  <br>
76 -Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
76 +Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
77 77  <br>
78 78  Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
79 -<br>
79 +<br><p>
80 80  Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
81 -<br>
82 -{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
83 -=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
84 -<br>
81 +</p>
85 85  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
86 86  <br>
87 87  {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
... ... @@ -106,6 +106,7 @@
106 106  Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
107 107  {{/detail}}
108 108  
106 +
109 109  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 110  //Aufgabenstellung//
111 111  <br><p>
... ... @@ -118,11 +118,12 @@
118 118  //Lösung//
119 119  <br>
120 120  {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
119 +<br>
121 121  Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
122 122  (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
123 123  | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
124 -|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
125 -|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
123 +|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
124 +|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
126 126  |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
127 127  
128 128  Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
... ... @@ -129,13 +129,17 @@
129 129  <br>
130 130  Schwarz: Angaben aus dem Text
131 131  <br>
132 -(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“))))
133 -<br><p>
134 -(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}})))
135 -</p>
131 +(% style="color:green" %) (((
132 +Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
133 +)))
134 +(% style="color:red" %) (((
135 +Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
136 +)))
137 +<br>
136 136  Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
137 137  <br>
138 138  {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
141 +<br>
139 139  {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
140 140  <br>
141 141  Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
... ... @@ -146,8 +146,10 @@
146 146  
147 147  === Teilaufgabe e) ===
148 148  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
149 -{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
152 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
150 150  <br>
154 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
155 +<br>
151 151  Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
152 152  <br>
153 153  {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
... ... @@ -155,6 +155,28 @@
155 155  Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
156 156  {{/detail}}
157 157  
163 +
164 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
165 +//Aufgabenstellung//
166 +<br><p>
167 + Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
168 +</p>
169 +//Lösung//
170 +<br>
171 +{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
172 +<br>
173 +{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
174 +<br><p>
175 +Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
176 +</p>
177 +Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
178 +<br>
179 +{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
180 +<br>
181 +Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
182 +{{/detail}}
183 +
184 +
158 158  === Teilaufgabe f) ===
159 159  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
160 160  {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
... ... @@ -165,3 +165,45 @@
165 165  <br>
166 166  {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
167 167  {{/detail}}
195 +
196 +
197 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
198 +//Aufgabenstellung//
199 +<br><p>
200 +Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
201 +Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
202 +</p>
203 +//Lösung//
204 +<br><p>
205 +{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
206 +</p><p>
207 +Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
208 +</p>
209 +{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=271,σ=44)
210 +<br><p>
211 +{{formula}}P_{\overline{F}}(L)≈0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=245,σ=50)
212 +</p>
213 +Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
214 +Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
215 +<br>
216 +{{formula}}P(L)⋅P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
217 +<br>
218 +{{formula}}P(F)⋅P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
219 +<br>
220 +Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
221 +<br>
222 +
223 +{{formula}}
224 +\begin{align}
225 +P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
226 +\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
227 +\end{align}
228 +{{/formula}}
229 +
230 +<br>
231 +{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
232 +<br>
233 +{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
234 +<br>
235 +Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
236 +{{/detail}}