Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -43,7 +43,7 @@
  <br>
  {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
  <br>
--{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
++{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe c) ===
@@ -70,18 +70,15 @@
  //Lösung//
  <br>
  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
--</p>
++<br>
  {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und  {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
  <br>
--Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
++Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
  <br>
  Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
--<br>
++<br><p>
  Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
--=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
--<br>
++</p>
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
  <br>
  {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
@@ -106,6 +106,7 @@
  Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
  {{/detail}}
++
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
  //Aufgabenstellung//
  <br><p>
@@ -118,11 +118,12 @@
  //Lösung//
  <br>
  {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
++<br>
  Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
  (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
  | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
--|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
--|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
++|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
++|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
  |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
  Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
@@ -129,13 +129,17 @@
  <br>
  Schwarz: Angaben aus dem Text
  <br>
--(% style="color:green" %) (((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“))))
--<br><p>
--(% style="color:red" %) (((Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%{{/formula}})))
--</p>
++(% style="color:green" %) (((
++Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
++)))
++(% style="color:red" %) (((
++Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
++)))
++<br>
  Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
  <br>
  {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
++<br>
  {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
  <br>
  Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
@@ -146,8 +146,10 @@
  === Teilaufgabe e) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
--{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
++{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
  <br>
++{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
++<br>
  Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
  <br>
  {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
@@ -155,6 +155,28 @@
  Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
  {{/detail}}
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++ Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
++<br>
++{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
++<br><p>
++Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
++</p>
++Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
++<br>
++{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
++<br>
++Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
++{{/detail}}
++
++
  === Teilaufgabe f) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
  {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
@@ -165,3 +165,45 @@
  <br>
  {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
++Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
++</p>
++//Lösung//
++<br><p>
++{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
++</p><p>
++Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
++</p>
++{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}}  (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=271,σ=44)
++<br><p>
++{{formula}}P_{\overline{F}}(L)≈0,103{{/formula}}   (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=245,σ=50)
++</p>
++Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
++Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
++<br>
++{{formula}}P(L)⋅P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
++<br>
++{{formula}}P(F)⋅P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
++<br>
++Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
++<br>
++
++{{formula}}
++\begin{align}
++P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
++\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
++\end{align}
++{{/formula}}
++
++<br>
++{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
++<br>
++{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
++<br>
++Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
++{{/detail}}

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