Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Rohform
Im Layout

Zusammenfassung

Seiteneigenschaften (2 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Titel

@@ -1,1 +1,1 @@
--Lösung Aufgabe 1
++Lösung Stochastik

Inhalt

@@ -41,9 +41,9 @@
  <br>
  {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
  <br>
--{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
++{{formula}}P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
  <br>
--{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
++{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe c) ===
@@ -64,24 +64,23 @@
  //Aufgabenstellung//
  <br><p>
  Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
++<br>
  {{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
++<br>
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
  </p>
  //Lösung//
  <br>
  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
--</p>
++<br>
  {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und  {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
  <br>
--Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe
++Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
  <br>
  Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
--<br>
++<br><p>
  Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
--=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
--<br>
++</p>
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
  <br>
  {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
@@ -109,12 +109,10 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
  //Aufgabenstellung//
++<br>
++Zeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
  <br><p>
--Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
--(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
--* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
--* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
--den Lauf abgebrochen.
++Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
  </p>
  //Lösung//
  <br>
@@ -123,8 +123,8 @@
  Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
  (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
  | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
--|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
--|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
++|{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
++|{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
  |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
  Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
@@ -135,12 +135,13 @@
  Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
  )))
  (% style="color:red" %) (((
--Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
++Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
  )))
  <br>
  Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
  <br>
  {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
++<br>
  {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
  <br>
  Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
@@ -178,9 +178,11 @@
  </p>
  Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
  <br>
--{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
++{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184{{/formula}}
  <br>
--Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
++{{formula}}P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
++<br>
++Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit {{formula}}327{{/formula}}.
  {{/detail}}
@@ -194,3 +194,44 @@
  <br>
  {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
  {{/detail}}
++
++
++{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
++Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
++</p>
++//Lösung//
++<br><p>
++{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
++</p><p>
++Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
++</p>
++{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}}  (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
++<br><p>
++{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}}   (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
++</p>
++Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
++<br>
++Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
++<br>
++{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
++<br>
++{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
++<br>
++Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
++
++{{formula}}
++\begin{align}
++P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
++\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
++\end{align}
++{{/formula}}
++
++{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
++<br>
++{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
++<br>
++Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
++{{/detail}}

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