Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -192,3 +192,45 @@
192	192	<br>
193	193	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
194	194	{{/detail}}
	195	+
	196	+
	197	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	198	+//Aufgabenstellung//
	199	+<br><p>
	200	+Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
	201	+Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
	202	+</p>
	203	+//Lösung//
	204	+<br><p>
	205	+{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
	206	+</p><p>
	207	+Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
	208	+</p>
	209	+{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=271,σ=44)
	210	+<br><p>
	211	+{{formula}}P_{\overline{F}}(L)≈0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=245,σ=50)
	212	+</p>
	213	+Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
	214	+Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
	215	+<br>
	216	+{{formula}}P(L)⋅P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
	217	+<br>
	218	+{{formula}}P(F)⋅P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
	219	+<br>
	220	+Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
	221	+<br>
	222	+
	223	+{{formula}}
	224	+\begin{align}
	225	+P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
	226	+\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
	227	+\end{align}
	228	+{{/formula}}
	229	+
	230	+<br>
	231	+{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
	232	+<br>
	233	+{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
	234	+<br>
	235	+Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
	236	+{{/detail}}