Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Titel

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-Lösung Aufgabe 1
	1	+Lösung Stochastik

Inhalt

...	...	@@ -41,7 +41,7 @@
41	41	<br>
42	42	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43	43	<br>
44		-{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
	44	+{{formula}}P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45	45	<br>
46	46	{{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47	47	{{/detail}}
...	...	@@ -64,7 +64,9 @@
64	64	//Aufgabenstellung//
65	65	<br><p>
66	66	Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
	67	+<br>
67	67	{{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
	69	+<br>
68	68	Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
69	69	</p>
70	70	//Lösung//
...	...	@@ -106,12 +106,10 @@
106	106
107	107	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
108	108	//Aufgabenstellung//
	111	+<br>
	112	+Zeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
109	109	<br><p>
110		-Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
111		-(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
112		-* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
113		-* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
114		-den Lauf abgebrochen.
	114	+Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
115	115	</p>
116	116	//Lösung//
117	117	<br>
...	...	@@ -132,7 +132,7 @@
132	132	Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
133	133	)))
134	134	(% style="color:red" %) (((
135		-Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
	135	+Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
136	136	)))
137	137	<br>
138	138	Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
...	...	@@ -176,9 +176,11 @@
176	176	</p>
177	177	Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
178	178	<br>
179		-{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
	179	+{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184{{/formula}}
180	180	<br>
181		-Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
	181	+{{formula}}P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
	182	+<br>
	183	+Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit {{formula}}327{{/formula}}.
182	182	{{/detail}}
183	183
184	184
...	...	@@ -192,3 +192,44 @@
192	192	<br>
193	193	{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
194	194	{{/detail}}
	197	+
	198	+
	199	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	200	+//Aufgabenstellung//
	201	+<br><p>
	202	+Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
	203	+Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
	204	+</p>
	205	+//Lösung//
	206	+<br><p>
	207	+{{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
	208	+</p><p>
	209	+Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
	210	+</p>
	211	+{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
	212	+<br><p>
	213	+{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
	214	+</p>
	215	+Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
	216	+<br>
	217	+Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
	218	+<br>
	219	+{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
	220	+<br>
	221	+{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
	222	+<br>
	223	+Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
	224	+
	225	+{{formula}}
	226	+\begin{align}
	227	+P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
	228	+\Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
	229	+\end{align}
	230	+{{/formula}}
	231	+
	232	+{{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
	233	+<br>
	234	+{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
	235	+<br>
	236	+Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
	237	+{{/detail}}