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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:26
Von Version 5.1
bearbeitet von akukin
am 2025/01/17 12:37
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bearbeitet von akukin
am 2025/01/23 23:26
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Lösung Aufgabe 1
1 +Lösung Stochastik
Inhalt
... ... @@ -41,7 +41,7 @@
41 41  <br>
42 42  {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43 43  <br>
44 -{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
44 +{{formula}}P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 45  <br>
46 46  {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 47  {{/detail}}
... ... @@ -64,7 +64,9 @@
64 64  //Aufgabenstellung//
65 65  <br><p>
66 66  Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
67 +<br>
67 67  {{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
69 +<br>
68 68  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
69 69  </p>
70 70  //Lösung//
... ... @@ -106,12 +106,10 @@
106 106  
107 107  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
108 108  //Aufgabenstellung//
111 +<br>
112 +Zeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
109 109  <br><p>
110 -Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
111 -(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
112 -* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
113 -* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
114 -den Lauf abgebrochen.
114 +Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
115 115  </p>
116 116  //Lösung//
117 117  <br>
... ... @@ -132,7 +132,7 @@
132 132  Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
133 133  )))
134 134  (% style="color:red" %) (((
135 -Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
135 +Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
136 136  )))
137 137  <br>
138 138  Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
... ... @@ -176,9 +176,11 @@
176 176  </p>
177 177  Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
178 178  <br>
179 -{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
179 +{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184{{/formula}}
180 180  <br>
181 -Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
181 +{{formula}}P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
182 +<br>
183 +Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit {{formula}}327{{/formula}}.
182 182  {{/detail}}
183 183  
184 184  
... ... @@ -206,19 +206,19 @@
206 206  </p><p>
207 207  Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
208 208  </p>
209 -{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=271,σ=44)
211 +{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
210 210  <br><p>
211 -{{formula}}P_{\overline{F}}(L)≈0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=245,σ=50)
213 +{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
212 212  </p>
213 213  Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
216 +<br>
214 214  Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
215 215  <br>
216 -{{formula}}P(L)⋅P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
219 +{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
217 217  <br>
218 -{{formula}}P(F)⋅P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
221 +{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
219 219  <br>
220 220  Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
221 -<br>
222 222  
223 223  {{formula}}
224 224  \begin{align}
... ... @@ -227,10 +227,9 @@
227 227  \end{align}
228 228  {{/formula}}
229 229  
230 -<br>
231 231  {{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
232 232  <br>
233 -{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
234 +{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
234 234  <br>
235 235  Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
236 236  {{/detail}}