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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:26
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bearbeitet von akukin
am 2025/01/23 23:26
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bearbeitet von akukin
am 2025/01/17 12:37
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Lösung Stochastik
1 +Lösung Aufgabe 1
Inhalt
... ... @@ -41,7 +41,7 @@
41 41  <br>
42 42  {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43 43  <br>
44 -{{formula}}P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
44 +{{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 45  <br>
46 46  {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 47  {{/detail}}
... ... @@ -64,9 +64,7 @@
64 64  //Aufgabenstellung//
65 65  <br><p>
66 66  Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
67 -<br>
68 68  {{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
69 -<br>
70 70  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
71 71  </p>
72 72  //Lösung//
... ... @@ -108,10 +108,12 @@
108 108  
109 109  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 110  //Aufgabenstellung//
111 -<br>
112 -Zeige, dass 20 % derjenigen, die nicht im Ziel angekommen sind, den Lauf wegen „Schmerzen während des Laufs“ abgebrochen haben.
113 113  <br><p>
114 -Untersuche, ob die Ereignisse „mangelnde Vorbereitung“ und „Schmerzen während des Laufs“ stochastisch unabhängig sind.
110 +Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
111 +(((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
112 +* 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
113 +* 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
114 +den Lauf abgebrochen.
115 115  </p>
116 116  //Lösung//
117 117  <br>
... ... @@ -132,7 +132,7 @@
132 132  Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
133 133  )))
134 134  (% style="color:red" %) (((
135 -Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
135 +Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
136 136  )))
137 137  <br>
138 138  Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
... ... @@ -176,11 +176,9 @@
176 176  </p>
177 177  Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
178 178  <br>
179 -{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184{{/formula}}
179 +{{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
180 180  <br>
181 -{{formula}}P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
182 -<br>
183 -Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit {{formula}}327{{/formula}}.
181 +Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
184 184  {{/detail}}
185 185  
186 186  
... ... @@ -208,19 +208,19 @@
208 208  </p><p>
209 209  Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
210 210  </p>
211 -{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
209 +{{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=271,σ=44)
212 212  <br><p>
213 -{{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
211 +{{formula}}P_{\overline{F}}(L)≈0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit μ=245,σ=50)
214 214  </p>
215 215  Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
216 -<br>
217 217  Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
218 218  <br>
219 -{{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
216 +{{formula}}P(L)⋅P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
220 220  <br>
221 -{{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
218 +{{formula}}P(F)⋅P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
222 222  <br>
223 223  Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
221 +<br>
224 224  
225 225  {{formula}}
226 226  \begin{align}
... ... @@ -229,9 +229,10 @@
229 229  \end{align}
230 230  {{/formula}}
231 231  
230 +<br>
232 232  {{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
233 233  <br>
234 -{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
233 +{{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
235 235  <br>
236 236  Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
237 237  {{/detail}}