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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Version 6.2 von akukin am 2025/01/17 12:44
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Es gilt: {{formula}}P(X>115)\approx 50,7 \%{{/formula}}.
11 <br>
12 Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
17 <br>
18 Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Gruppe mehr als 115 Läufer im Ziel ankommen, beträgt ca. 50,7 %.
19 {{/detail}}
20
21 === Teilaufgabe b) ===
22 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
23 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
24 <br>
25 {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}}
26 <br>
27 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)\approx0,716{{/formula}}
28 {{/detail}}
29
30
31 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 //Aufgabenstellung//
33 <br><p>
34 Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
35 <br>
36 {{formula}}A{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen genau 110 Teilnehmer im Ziel an.
37 <br>
38 {{formula}}B{{/formula}}: Aus dieser Gruppe kommen weniger als 119 Teilnehmer im Ziel an.
39 </p>
40 //Lösung//
41 <br>
42 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
43 <br>
44 {{formula}}P(A)=P(X=110)\approx0,0424{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
45 <br>
46 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx0,716{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
47 {{/detail}}
48
49 === Teilaufgabe c) ===
50 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
51 <p>
52 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
53 </p>
54 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
55 <br>
56 Erwartungswert: {{formula}}\mu=34650{{/formula}}, Standardabweichung: {{formula}}\sigma\approx89,3{{/formula}}
57 <br>
58 {{formula}}P(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma)=P(34605<Y\le34694)
59 =P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx 0,691-0,309=0,382{{/formula}}
60 {{/detail}}
61
62
63 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64 //Aufgabenstellung//
65 <br><p>
66 Jeder der 45 000 Teilnehmer, der im Ziel ankommt, erhält ein Finisher-Shirt.
67 {{formula}}Y{{/formula}} beschreibt die Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts.
68 Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
69 </p>
70 //Lösung//
71 <br>
72 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl an ausgegebenen Finisher-Shirts
73 <br>
74 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=45000{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
75 <br>
76 Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
77 <br>
78 Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p= 45000\cdot 0,77=34650{{/formula}},
79 <br><p>
80 Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45000\cdot 0,77\cdot 0,23}\approx89,3{{/formula}}
81 </p>
82 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=34606{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=34694{{/formula}} annimmt.
83 <br>
84 {{formula}}P\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma<Y<\mu+\frac{1}{2}\sigma\right)=P(34606\le Y\le34694){{/formula}}
85 <br><p>
86 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, also die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P\left(X=0\right){{/formula}} bis zu {{formula}}P\left(X=m\right){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P\left(34606\le Y\le34694\right){{/formula}} noch umformuliert werden.
87 </p>
88 {{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx0,691-0,309=0,382{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
89 {{/detail}}
90
91 === Teilaufgabe d) ===
92 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
93 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
94 <br>
95 {{formula}}P(S\cup V)=1-0,13=0,87{{/formula}}
96 <br>
97 {{formula}}P(S\cap V)=P(S\cup V)-\left(P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)\right)=0,87-0,72=0,15{{/formula}}
98 <br>
99 {{formula}}P(S)=P(S\cup V)-P(V)+P(S\cap V)=0,87-0,82+0,15=0,2{{/formula}}
100 <br>
101 {{formula}}0,15=P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V)=0,164{{/formula}}
102 <br>
103 Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.
104 {{/detail}}
105
106
107 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
108 //Aufgabenstellung//
109 <br><p>
110 Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben
111 (((* 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“
112 * 72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
113 * 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“)))
114 den Lauf abgebrochen.
115 </p>
116 //Lösung//
117 <br>
118 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; {{formula}}S{{/formula}}: Schmerzen während des Laufs
119 <br>
120 Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
121 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
122 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
123 |{{formula}}V{{/formula}}|(% style="color:green" %)15%,,8,,|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)67%,,5,,|82%,,1,,
124 |{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%,,4,,|13%,,3,,|(% style="color:green" %) 18%,,2,,
125 |{{formula}}\sum{{/formula}} |(% style="color:green" %) 20%,,7,,|(% style="color:green" %) 80%,,6,,|100%
126
127 Index,,1-8,,: Reihenfolge der Ermittlung der Werte
128 <br>
129 Schwarz: Angaben aus dem Text
130 <br>
131 (% style="color:green" %) (((
132 Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
133 )))
134 (% style="color:red" %) (((
135 Rot: „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit {{formula}}\textcolor{red}{P(S\cap\bar{V})+P(\bar{S}\cap V)=72\%}{{/formula}}
136 )))
137 <br>
138 Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
139 <br>
140 {{formula}}P(S\cap V)=0,15{{/formula}}
141 <br>
142 {{formula}}P(S)\cdot P(V)=0,2\cdot0,82=0,164{{/formula}}
143 <br>
144 Also: {{formula}}P(S\cap V)\neq P(S)\cdot P(V){{/formula}}
145 <br>
146 Folglich sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
147
148 {{/detail}}
149
150 === Teilaufgabe e) ===
151 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
152 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
153 <br>
154 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
155 <br>
156 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
157 <br>
158 {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
159 <br>
160 Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
161 {{/detail}}
162
163
164 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
165 //Aufgabenstellung//
166 <br><p>
167 Betrachtet wird eine Gruppe von 1000 Teilnehmern, die den Lauf beendet haben. Ermittle die größte natürliche Zahl {{formula}}k{{/formula}}, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Gruppe weniger als {{formula}}k{{/formula}} Frauen befinden, kleiner als 20 % ist.
168 </p>
169 //Lösung//
170 <br>
171 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe;
172 <br>
173 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=1000,\ \ p=0,34{{/formula}}
174 <br><p>
175 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}.
176 </p>
177 Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man:
178 <br>
179 {{formula}}P(Z\le326)=P(Z<327)\approx0,184;\ \ P(Z\le327)=P(Z<328)\approx0,202{{/formula}}
180 <br>
181 Die gesuchte Zahl {{formula}}k{{/formula}} ist somit 327.
182 {{/detail}}
183
184
185 === Teilaufgabe f) ===
186 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
187 {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
188 <br>
189 {{formula}}P_F(L)\approx0,0651{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
190 <br>
191 {{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx0,103{{/formula}} (WTR, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
192 <br>
193 {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
194 {{/detail}}
195
196
197 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
198 //Aufgabenstellung//
199 <br><p>
200 Die benötigte Zeit für den Marathon von Frauen und Männern, die im Ziel ankommen, ist jeweils annähernd normalverteilt. Bei den Frauen beträgt der Mittelwert 4:31 h bei einer Standardabweichung von 44 Minuten. Bei den Männern ist der Mittelwert 4:05 h bei einer Standardabweichung von 50 Minuten.
201 Eine Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Person um eine Frau handelt.
202 </p>
203 //Lösung//
204 <br><p>
205 {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau; {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
206 </p><p>
207 Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
208 </p>
209 {{formula}}P_F (L)\approx 0,0651{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271, \ \sigma=44{{/formula}})
210 <br><p>
211 {{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx 0,103{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245, \ \sigma=50{{/formula}})
212 </p>
213 Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L){{/formula}}) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
214 <br>
215 Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
216 <br>
217 {{formula}}P(L)\cdot P_L (F)=P(L\cap F){{/formula}}
218 <br>
219 {{formula}}P(F)\cdot P_F (L)=P(L\cap F){{/formula}}
220 <br>
221 Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
222
223 {{formula}}
224 \begin{align}
225 P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
226 \Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
227 \end{align}
228 {{/formula}}
229
230 {{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
231 <br>
232 {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F\cap L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\frac{0,34\cdot0,0651}{0,66\cdot0,0651+0,34\cdot0,103}\approx0,284{{/formula}}
233 <br>
234 Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die den Lauf mit einer Zeit zwischen 3:30 h und 3:45 h beendet hat, um eine Frau handelt, beträgt ca. 28,4 %.
235 {{/detail}}