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Tipp Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/17 12:43

Teilaufgabe a)

Hinweis Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt X>115.

Teilaufgabe b)

Hinweis 1 Ist die Zufallsgröße binomialverteilt?
Wie lauten die Parameter n und p im vorliegenden Fall?
Hinweis 2 X ist binomialverteilt mit n=150 und p=0,77.
Hinweis 3 P(A)=P(X=110)
Hinweis 4 P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx\ ? (Taschenrechner: binomialpdf)
Hinweis 5 P(B)=P(X<119)
Hinweis 6 P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx\ ? (Taschenrechner: binomialcdf)

Teilaufgabe c)

Hinweis 1 Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
Hinweis 2 Erwartungswert: \mu=n\cdot p=\ ?
Standardabweichung: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\ ?
Hinweis 3 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass Y Werte zwischen \mu-\frac{1}{2}\sigma=\ ? und \mu+\frac{1}{2}\sigma=\ ? annimmt.
Hinweis 4 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten P(X\le m) berechnen kann, indem er die Einzelwahrscheinlichkeiten P(X=k) von P(X=0) bis zu P(X=m) kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(34606\le Y\le34694) noch umformuliert werden.
Hinweis 5 P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx\ ? (Taschenrechner: binomialcdf)

Teilaufgabe d)

Hinweis 1 Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
S\overline{S}\sum
V
\overline{V}
\sum 100%
Hinweis 2 V: Mangelnde Vorbereitung; S: Schmerzen während des Laufs
Ein Eintrag der Vierfeldertafel kann direkt aus der Angabe übernommen werden:
„Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“ den Lauf abgebrochen.“
S\overline{S}\sum
V82%
\overline{V}
\sum 100%
Hinweis 3 „Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“ den Lauf abgebrochen.“
P(\overline{V}\cap\overline{S})=0,13
S\overline{S}\sum
V82%
\overline{V}13%
\sum 100%
Hinweis 4 Viele Felder der Vierfeldertafel können mittels Summenregel berechnet werden:
„Oben plus Mitte ist gleich unten“
und
„Links plus Mitte ist gleich rechts“
S\overline{S}\sum
V82%
\overline{V} 5%13% 18%
\sum 100%
Hinweis 5 „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“ ist gleichbedeutend mit
P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\ %
Die beiden orangenen Felder ergeben zusammen also 72 %.
S\overline{S}\sum
V?82%
\overline{V}5%13% 18%
\sum 100%
Die restlichen Felder können wieder mit der Summenregel bestimmt werden.
Hinweis 6 Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)

Teilaufgabe e)

Hinweis 1 Z: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; Z ist binomialverteilt mit n=\ ?,\ \ p=\ ?
Hinweis 2 Gesucht ist das größte k, so dass P\left(Z\ \begin{matrix}>\\<\\=\\\end{matrix}\ k\right)<\ ?.
Hinweis 3 Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man das größtmögliche k, für das gilt:
P(Z<k)<0,2

Teilaufgabe f)

Hinweis 1 F: Person ist eine Frau;

L: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten

Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
Hinweis 2 P_F(L)\approx\ ? (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit \mu=271,\ \ \sigma=44)
P_{\overline{F}}(L)\approx\ ? (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit \mu=245,\ \ \sigma=50)
Hinweis 3

Gesucht ist P_L(F). Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit P_F(L)) die Bedingung und das Ereignis vertauscht.

Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit L,\overline{L} gezeichnet wird oder mit F,\overline{F}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.
Hinweis 4 Egal ob ein Baum zuerst mit L,\overline{L} gezeichnet wird oder mit F,\overline{F}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
P(L)\cdot P_L(F)=P(L\cap F)
P(F)\cdot P_F(L)=P(L\cap F)
Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit P_L(F) bestimmt werden kann
P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L)
Hinweis 5

\begin{align} P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\ \Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)} \end{align}

P(L) ist nicht direkt gegeben, kann aber in P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L) umgeschrieben werden.
P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\ ?