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Wiki-Quellcode von Tipp Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/17 12:43
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Hinweis"}}
3 Die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}} beschreibt die Anzahl der Teilnehmer dieser Gruppe, die im Ziel ankommen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses soll ca. 50,7 % betragen. Für dieses Ereignis gilt {{formula}}X>115{{/formula}}.
4 {{/detail}}
5
6 === Teilaufgabe b) ===
7 {{detail summary="Hinweis 1"}}
8 Ist die Zufallsgröße binomialverteilt?
9 <br>
10 Wie lauten die Parameter {{formula}}n{{/formula}} und {{formula}}p{{/formula}} im vorliegenden Fall?
11 {{/detail}}
12
13
14 {{detail summary="Hinweis 2"}}
15 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=150{{/formula}} und {{formula}}p=0,77{{/formula}}.
16 {{/detail}}
17
18
19 {{detail summary="Hinweis 3"}}
20 {{formula}}P(A)=P(X=110){{/formula}}
21 {{/detail}}
22
23
24 {{detail summary="Hinweis 4"}}
25 {{formula}}P(A)=P(X=110)=B_{150;0,77}(110)\approx\ ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
26 {{/detail}}
27
28
29 {{detail summary="Hinweis 5"}}
30 {{formula}}P(B)=P(X<119){{/formula}}
31 {{/detail}}
32
33
34 {{detail summary="Hinweis 6"}}
35 {{formula}}P(B)=P(X<119)=P(X\le118)=F_{150;0,77}(118)\approx\ ? {{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
36 {{/detail}}
37
38 === Teilaufgabe c) ===
39 {{detail summary="Hinweis 1"}}
40 Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
41 {{/detail}}
42
43
44 {{detail summary="Hinweis 2"}}
45 Erwartungswert: {{formula}}\mu=n\cdot p=\ ?{{/formula}}
46 <br>
47 Standardabweichung: {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\ ?{{/formula}}
48 {{/detail}}
49
50
51 {{detail summary="Hinweis 3"}}
52 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}Y{{/formula}} um weniger als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, also dass {{formula}}Y{{/formula}} Werte zwischen {{formula}}\mu-\frac{1}{2}\sigma=\ ?{{/formula}} und {{formula}}\mu+\frac{1}{2}\sigma=\ ?{{/formula}} annimmt.
53 {{/detail}}
54
55
56 {{detail summary="Hinweis 4"}}
57 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, indem er die Einzelwahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}P(X=0){{/formula}} bis zu {{formula}}P(X=m){{/formula}} kumuliert (addiert), muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(34606\le Y\le34694){{/formula}} noch umformuliert werden.
58 {{/detail}}
59
60
61 {{detail summary="Hinweis 5"}}
62 {{formula}}P(34606\le Y\le34694)=P(Y\le34\ 694)-P(Y\le34\ 605)\approx\ ?{{/formula}}
63 (Taschenrechner: binomialcdf)
64 {{/detail}}
65
66 === Teilaufgabe d) ===
67 {{detail summary="Hinweis 1"}}
68 Mit Hilfe einer Vierfeldertafel behält man hier den Überblick.
akukin 2.1 69 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
70 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
71 |{{formula}}V{{/formula}}||=(% style="background-color:#ffcc80" %)|
72 |{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)||
73 |{{formula}}\sum{{/formula}} |||100%
74 {{/detail}}
75
76
77 {{detail summary="Hinweis 2"}}
78 {{formula}}V{{/formula}}: Mangelnde Vorbereitung; S: Schmerzen während des Laufs
79 <br>
80 Ein Eintrag der Vierfeldertafel kann direkt aus der Angabe übernommen werden:
81 <br>
82 „Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 82 % wegen „mangelnder Vorbereitung“ den Lauf abgebrochen.“
83
84 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
85 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
86 |{{formula}}V{{/formula}}||=(% style="background-color:#ffcc80" %)|82%
87 |{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)||
88 |{{formula}}\sum{{/formula}} |||100%
89 {{/detail}}
90
91
92 {{detail summary="Hinweis 3"}}
93 „Von den Teilnehmern, die nicht im Ziel angekommen sind, haben 13 % weder wegen „mangelnder Vorbereitung“ noch wegen „Schmerzen während des Laufs“ den Lauf abgebrochen.“
94 <br>
95 {{formula}}P(\overline{V}\cap\overline{S})=0,13{{/formula}}
96
97 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
98 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
99 |{{formula}}V{{/formula}}||=(% style="background-color:#ffcc80" %)|82%
100 |{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80" %)|13%|
101 |{{formula}}\sum{{/formula}} |||100%
102 {{/detail}}
103
104
105 {{detail summary="Hinweis 4"}}
106 Viele Felder der Vierfeldertafel können mittels Summenregel berechnet werden:
107 <br>
108 „Oben plus Mitte ist gleich unten“
109 <br>
110 und
111 <br>
112 „Links plus Mitte ist gleich rechts“
113
114
115 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
116 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
117 |{{formula}}V{{/formula}}||=(% style="background-color:#ffcc80" %)|82%
akukin 4.1 118 |{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %) (% style="color:green" %)5%|13%|(% style="color:green" %) 18%
akukin 2.1 119 |{{formula}}\sum{{/formula}} |||100%
120 {{/detail}}
121
122
123 {{detail summary="Hinweis 5"}}
124 „72 % entweder wegen „mangelnder Vorbereitung“ oder wegen „Schmerzen während des Laufs“
125 ist gleichbedeutend mit
126 <br>
127 {{formula}}P(S\cap\overline{V})+P(\overline{S}\cap V)=72\ %{{/formula}}
128 <br>
129 Die beiden orangenen Felder ergeben zusammen also 72 %.
130
131
132
133 (% class="border" style="width:60%;text-align:center" %)
134 | |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
akukin 3.1 135 |{{formula}}V{{/formula}}||=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:red" %)?|82%
akukin 4.1 136 |{{formula}}\overline{V}{{/formula}}|=(% style="background-color:#ffcc80;text-align:center" %)(% style="color:green" %)5%|13%|(% style="color:green" %) 18%
akukin 2.1 137 |{{formula}}\sum{{/formula}} |||100%
138
akukin 1.1 139
akukin 2.1 140 Die restlichen Felder können wieder mit der Summenregel bestimmt werden.
141 {{/detail}}
akukin 1.1 142
akukin 2.1 143
144 {{detail summary="Hinweis 6"}}
145 Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge genauso groß ist wie das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. (Formel siehe Merkhilfe)
akukin 1.1 146 {{/detail}}
akukin 2.1 147
148 === Teilaufgabe e) ===
149 {{detail summary="Hinweis 1"}}
150 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frauen in dieser Gruppe; {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=\ ?,\ \ p=\ ?{{/formula}}
151 {{/detail}}
152
153
154 {{detail summary="Hinweis 2"}}
155 Gesucht ist das größte {{formula}}k{{/formula}}, so dass {{formula}}P\left(Z\ \begin{matrix}>\\<\\=\\\end{matrix}\ k\right)<\ ?{{/formula}}.
156 {{/detail}}
157
158
159 {{detail summary="Hinweis 3"}}
160 Durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomialcdf) erhält man das größtmögliche {{formula}}k{{/formula}}, für das gilt:
161 <br>
162 {{formula}}P(Z<k)<0,2{{/formula}}
163 {{/detail}}
164
165 === Teilaufgabe f) ===
166 {{detail summary="Hinweis 1"}}
167 {{formula}}F{{/formula}}: Person ist eine Frau;
168 <br><p>
169 {{formula}}L{{/formula}}: Person beendet den Lauf mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten
170 </p>
171 Mit Hilfe des Taschenrechners (normalcdf) kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Frau beziehungsweise für einen Mann ist, mit einer Zeit zwischen 210 und 225 Minuten den Lauf zu beenden.
172 {{/detail}}
173
174
175 {{detail summary="Hinweis 2"}}
176 {{formula}}P_F(L)\approx\ ?{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=271,\ \ \sigma=44{{/formula}})
177 <br>
178 {{formula}}P_{\overline{F}}(L)\approx\ ?{{/formula}} (Taschenrechner, normalcdf, Normalverteilung mit {{formula}}\mu=245,\ \ \sigma=50{{/formula}})
179 {{/detail}}
180
181
182 {{detail summary="Hinweis 3"}}
183 <p>
184 Gesucht ist {{formula}}P_L(F){{/formula}}. Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit sind (im Vergleich zur schon ermittelten Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_F(L)){{/formula}} die Bedingung und das Ereignis vertauscht.
185 </p>
186 Aber: Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.
187 {{/detail}}
188
189
190 {{detail summary="Hinweis 4"}}
191 Egal ob ein Baum zuerst mit {{formula}}L,\overline{L}{{/formula}} gezeichnet wird oder mit {{formula}}F,\overline{F}{{/formula}}, die Pfadregel führt immer auf dieselbe Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
192 <br>
193 {{formula}}P(L)\cdot P_L(F)=P(L\cap F){{/formula}}
194 <br>
195 {{formula}}P(F)\cdot P_F(L)=P(L\cap F){{/formula}}
196 <br>
197 Aus dieser Erkenntnis leitet sich der Satz von Bayes ab, mit dem die gesuchte Wahrscheinlichkeit {{formula}}P_L(F){{/formula}} bestimmt werden kann
198 <br>
199 {{formula}}P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L){{/formula}}
200
201 {{/detail}}
202
203
204 {{detail summary="Hinweis 5"}}
205
206 {{formula}}
207 \begin{align}
208 P(L)\cdot P_L(F)=P(F)\cdot P_F(L) \\
209 \Leftrightarrow\ \ \ P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(L)}
210 \end{align}
211 {{/formula}}
212
213 {{formula}}P(L){{/formula}} ist nicht direkt gegeben, kann aber in {{formula}}P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L){{/formula}} umgeschrieben werden.
214 <br>
215 {{formula}}P_L(F)=\frac{P(F)\cdot P_F(L)}{P(\overline{F}\cap L)+P(F\cap L)}\approx\ ?{{/formula}}
216 {{/detail}}