Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:13
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -1,6 +1,6 @@ 1 1 === Teilaufgabe a) === 2 2 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 3 -{{formula}}P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09 \approx0,015{{/formula}}3 +{{formula}}P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09≈0,015{{/formula}} 4 4 <br> 5 5 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen. 6 6 <br> ... ... @@ -13,41 +13,6 @@ 13 13 {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}} 14 14 {{/detail}} 15 15 16 - 17 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 18 -//Aufgabenstellung// 19 -<br> 20 -Es werden nacheinander 20 zufällig ausgewählte Testpersonen befragt. 21 -<br> 22 -Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: 23 -<br> 24 -{{formula}}E_1{{/formula}}: Nur die dritte Testperson verträgt das Produkt nicht. 25 -<br> 26 -{{formula}}E_2{{/formula}}: Genau 18 Testpersonen vertragen das Produkt. 27 -<br><p> 28 -{{formula}}E_3{{/formula}}: Mindestens 70% der Testpersonen vertragen das Produkt. 29 -</p> 30 -//Lösung// 31 -<br> 32 -{{formula}}E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon. 33 -<br><p> 34 -{{formula}}P(E_1 )=0,91\cdot 0,91\cdot 0,09\cdot 0,91\cdot 0,91 \hdots =0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}} 35 -</p><p> 36 -{{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}. 37 -<br> 38 -{{formula}}P(E_2 )=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf) 39 -</p> 40 -{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist. 41 -<br> 42 -{{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}} 43 -<br> 44 -{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14){{/formula}} 45 -<br> 46 -Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden. 47 -<br> 48 -{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 49 -{{/detail}} 50 - 51 51 === Teilaufgabe b) === 52 52 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 53 53 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. ... ... @@ -59,25 +59,6 @@ 59 59 {{formula}}P(14\leq Y \leq 22)=P(Y\leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308 \approx 0,735{{/formula}} 60 60 {{/detail}} 61 61 62 - 63 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 64 -//Aufgabenstellung// 65 -<br><p> 66 -200 Personen nutzen das Pflegeprodukt. 67 -<br> 68 -Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt. 69 -</p> 70 -//Lösung// 71 -<br> 72 -{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200,\ p=0,09{{/formula}}) 73 -<br> 74 -Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}. 75 -<br> 76 -Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden. 77 -<br> 78 -{{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308\approx 0,735{{/formula}} 79 -{{/detail}} 80 - 81 81 === Teilaufgabe c) === 82 82 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 83 83 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %) ... ... @@ -87,30 +87,6 @@ 87 87 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|0,945|1 88 88 {{/detail}} 89 89 90 - 91 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 92 -//Aufgabenstellung// 93 -<br><p> 94 -Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese. 95 -<br> 96 -(zur Kontrolle: {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}) 97 -</p> 98 -//Lösung// 99 -<br> 100 -(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %) 101 -| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 102 -|{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055,,3,,|(% style="color:green" %)0,035,,6,,|(% style="color:green" %) 0,0405,,5,, 103 -|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495,,2,, |0,91|(% style="color:green" %) 0,9595,,4,, 104 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055,,1,,|(% style="color:green" %)0,945,,7,,|1 105 - 106 -Schwarz: Angabe direkt aus dem Text: {{formula}}P(A)=0,055{{/formula}} 107 -(% style="color:red" %)(((Rot: „Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}\textcolor{red}{P_A (\overline{I})=0,9}{{/formula}} 108 -<br> 109 -Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}}))) 110 -(% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) ))) 111 -Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder. 112 -{{/detail}} 113 - 114 114 === Teilaufgabe d) === 115 115 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 116 116 Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}. ... ... @@ -118,48 +118,11 @@ 118 118 Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit. 119 119 {{/detail}} 120 120 121 - 122 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 123 -//Aufgabenstellung// 124 -<br><p> 125 -Zeige, dass das Auftreten der beiden Unverträglichkeiten stochastisch abhängig voneinander ist. 126 -</p> 127 -//Lösung// 128 -<br> 129 -Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich überprüfen durch den Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten: 130 -<br> 131 -Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann wären beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe). 132 -<br> 133 -Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}. 134 -<br> 135 -{{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} 136 -<br> 137 -Da P(A∩I)≠P(A)⋅P(I), folgt die stochastische Abhängigkeit. 138 -{{/detail}} 139 - 140 140 === Teilaufgabe e) === 141 141 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 142 142 {{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}. 143 143 {{/detail}} 144 144 145 - 146 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 147 -//Aufgabenstellung// 148 -<br><p> 149 -Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine Allergie oder eine Irritation auftritt. 150 -</p> 151 -//Lösung// 152 -<br> 153 -Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann. Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor. 154 -<br> 155 -[[image:Upload erfolgreich beendet 156 -Venndiagramm_e).png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 157 -<br> 158 -Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt. 159 -<br> 160 -{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}} 161 -{{/detail}} 162 - 163 163 === Teilaufgabe f) === 164 164 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 165 165 {{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation ... ... @@ -167,21 +167,6 @@ 167 167 {{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}} 168 168 {{/detail}} 169 169 170 - 171 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 172 -//Aufgabenstellung// 173 -<br><p> 174 -Nachdem eine Testperson das Pflegeprodukt anwendet, tritt bei ihr eine Irritation auf. Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie auch allergisch reagiert. 175 -</p> 176 -//Lösung// 177 -<br> 178 -{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation 179 -<br> 180 -Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung. 181 -<br> 182 -{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}} 183 -{{/detail}} 184 - 185 185 === Teilaufgabe g) === 186 186 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 187 187 Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen ... ... @@ -189,8 +189,8 @@ 189 189 {{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen 190 190 (% class="border" style="width:100%;text-align:center" %) 191 191 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen 192 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}}193 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}| {{formula}}0,91 -a{{/formula}}|{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}62 +|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| 9|-0,5 |-0,5 63 +|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|0,91 -{{formula}}a{{/formula}} |0,09|{{formula}}a{{/formula}} 194 194 195 195 {{formula}}\mu=6,50{{/formula}} 196 196 <br> ... ... @@ -198,37 +198,3 @@ 198 198 <br> 199 199 Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht. 200 200 {{/detail}} 201 - 202 - 203 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 204 -//Aufgabenstellung// 205 -<br><p> 206 -Das Unternehmen möchte einen durchschnittlichen Gewinn von mindestens 6,50€ pro Stück erwirtschaften. 207 -<br> 208 -Berechne, wie groß der Anteil aller Kunden höchstens sein darf, welche die Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen. 209 -</p> 210 -//Lösung// 211 -<br> 212 -Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen 213 -<br> 214 -{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen 215 -(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %) 216 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen 217 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}} 218 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}} 219 - 220 -Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}. 221 -<br> 222 -{{formula}}\mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n{{/formula}} 223 -<br> 224 -{{formula}}\mu=6,50{{/formula}} 225 -<br> 226 -{{formula}}(0,91-a)\cdot 9- 0,09\cdot 0,5 -0,5\cdot a=6,5{{/formula}} 227 -<br> 228 -Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden. 229 -<br> 230 -{{formula}}(0,91-a)\cdot 9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5 \ \Leftrightarrow \ a\approx 0,173{{/formula}} 231 - 232 -<br> 233 -Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht. 234 -{{/detail}}
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