Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:13
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -109,6 +109,7 @@ 109 109 Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}}))) 110 110 (% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) ))) 111 111 Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder. 112 + 112 112 {{/detail}} 113 113 114 114 === Teilaufgabe d) === ... ... @@ -118,47 +118,11 @@ 118 118 Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit. 119 119 {{/detail}} 120 120 121 - 122 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 123 -//Aufgabenstellung// 124 -<br><p> 125 -Zeige, dass das Auftreten der beiden Unverträglichkeiten stochastisch abhängig voneinander ist. 126 -</p> 127 -//Lösung// 128 -<br> 129 -Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich überprüfen durch den Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten: 130 -<br> 131 -Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann wären beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe). 132 -<br> 133 -Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}. 134 -<br> 135 -{{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} 136 -<br> 137 -Da {{formula}}P(A\cap I)\neq P(A)\cdot P(I){{/formula}}, folgt die stochastische Abhängigkeit. 138 -{{/detail}} 139 - 140 140 === Teilaufgabe e) === 141 141 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 142 142 {{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}. 143 143 {{/detail}} 144 144 145 - 146 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 147 -//Aufgabenstellung// 148 -<br><p> 149 -Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine Allergie oder eine Irritation auftritt. 150 -</p> 151 -//Lösung// 152 -<br> 153 -Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann. Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor. 154 -<br> 155 -[[image:Venndiagramm_e).png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 156 -<br> 157 -Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt. 158 -<br> 159 -{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=P(A\cap \overline{I})+ P(\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}} 160 -{{/detail}} 161 - 162 162 === Teilaufgabe f) === 163 163 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 164 164 {{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation ... ... @@ -166,21 +166,6 @@ 166 166 {{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}} 167 167 {{/detail}} 168 168 169 - 170 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 171 -//Aufgabenstellung// 172 -<br><p> 173 -Nachdem eine Testperson das Pflegeprodukt anwendet, tritt bei ihr eine Irritation auf. Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie auch allergisch reagiert. 174 -</p> 175 -//Lösung// 176 -<br> 177 -{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation 178 -<br> 179 -Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung. 180 -<br> 181 -{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}} 182 -{{/detail}} 183 - 184 184 === Teilaufgabe g) === 185 185 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}} 186 186 Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen ... ... @@ -197,39 +197,3 @@ 197 197 <br> 198 198 Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht. 199 199 {{/detail}} 200 - 201 - 202 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 203 -//Aufgabenstellung// 204 -<br><p> 205 -Das Unternehmen möchte einen durchschnittlichen Gewinn von mindestens 6,50€ pro Stück erwirtschaften. 206 -<br> 207 -Berechne, wie groß der Anteil aller Kunden höchstens sein darf, welche die Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen. 208 -</p> 209 -//Lösung// 210 -<br> 211 -Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen 212 -<br> 213 -{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen 214 -(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %) 215 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen 216 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}} 217 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}} 218 - 219 -Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}. 220 -<br> 221 -{{formula}}\mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n{{/formula}} 222 -<br> 223 -{{formula}}\mu=(0,91-a)\cdot 9+ 0,09\cdot (-0,5) + a \cdot (-0,5){{/formula}} 224 -<br> 225 -{{formula}}\mu=6,50{{/formula}} 226 -<br> 227 -{{formula}}(0,91-a)\cdot 9- 0,09\cdot 0,5 -0,5a=6,5{{/formula}} 228 -<br> 229 -Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden. 230 -<br> 231 -{{formula}}(0,91-a)\cdot 9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5 \ \Leftrightarrow \ a\approx 0,173{{/formula}} 232 - 233 -<br> 234 -Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht. 235 -{{/detail}}