Änderungen von Dokument Tipp Stochastik
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... ... @@ -10,7 +10,7 @@ 10 10 11 11 12 12 {{detail summary="Hinweis 3"}} 13 -{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist. 13 +{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70 % von 20 Personen ist. 14 14 {{/detail}} 15 15 16 16 ... ... @@ -25,187 +25,3 @@ 25 25 {{detail summary="Hinweis 5"}} 26 26 {{formula}}P(E_3)=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1- ? \approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf) 27 27 {{/detail}} 28 - 29 -=== Teilaufgabe b) === 30 -{{detail summary="Hinweis 1"}} 31 -{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200, \ p=0,09{{/formula}}) 32 -<br> 33 -Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}. 34 -{{/detail}} 35 - 36 - 37 -{{detail summary="Hinweis 2"}} 38 -Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden. 39 -{{/detail}} 40 - 41 - 42 -{{detail summary="Hinweis 3"}} 43 -{{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx ?{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf zweimal) 44 -{{/detail}} 45 - 46 -=== Teilaufgabe c) === 47 -{{detail summary="Hinweis 1"}} 48 -„Bei 5,5% aller Testpersonen tritt eine Allergie auf.“ 49 -(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %) 50 -| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 51 -|{{formula}}I{{/formula}}||| 52 -|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}||0,91| 53 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |?||1 54 -{{/detail}} 55 - 56 - 57 -{{detail summary="Hinweis 2"}} 58 -„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_? (?)=0,9{{/formula}} 59 -(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %) 60 -| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 61 -|{{formula}}I{{/formula}}||| 62 -|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91| 63 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1 64 -{{/detail}} 65 - 66 - 67 -{{detail summary="Hinweis 3"}} 68 -„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}} 69 -<br> 70 -(% style="color:red" %)Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})= ?} {{/formula}} 71 -(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %) 72 -| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 73 -|{{formula}}I{{/formula}}||| 74 -|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91| 75 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1 76 -{{/detail}} 77 - 78 - 79 -{{detail summary="Hinweis 4"}} 80 -„Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}P_A (\overline{I})=0,9{{/formula}} 81 -<br> 82 -(% style="color:red" %)Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= ?} {{/formula}} 83 -(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %) 84 -| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 85 -|{{formula}}I{{/formula}}||| 86 -|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) ? |0,91| 87 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055||1 88 -{{/detail}} 89 - 90 - 91 -{{detail summary="Hinweis 5"}} 92 -Die restlichen Felder können mittels Summenregel berechnet werden. 93 -<br> 94 -(% style="color:green" %)(„Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) 95 -(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %) 96 -| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}} 97 -|{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055|(% style="color:green" %)?|(% style="color:green" %) ? 98 -|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495 |0,91|(% style="color:green" %) ? 99 -|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|(% style="color:green" %)?|1 100 -{{/detail}} 101 - 102 -=== Teilaufgabe d) === 103 -{{detail summary="Hinweis"}} 104 -<p> 105 -Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich auf zwei Arten überprüfen. 106 -</p><p> 107 -Option 1: Vergleich der bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten 108 -<br> 109 -Wenn {{formula}}P_I (A)=P(A){{/formula}}, dann spielt die Bedingung {{formula}}I{{/formula}} anscheinend keine Rolle; folglich sind beide Merkmale unabhängig voneinander. 110 -</p> 111 -Option 2: Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten 112 -<br> 113 -Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann sind beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe). 114 -{{/detail}} 115 - 116 -=== Teilaufgabe e) === 117 -{{detail summary="Hinweis 1"}} 118 -Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann. 119 -{{/detail}} 120 - 121 - 122 -{{detail summary="Hinweis 2"}} 123 -Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor. 124 -[[image:Venndiagramm_e).png||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] 125 -{{/detail}} 126 - 127 - 128 -{{detail summary="Hinweis 3"}} 129 -Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt. 130 -{{/detail}} 131 - 132 - 133 -{{detail summary="Hinweis 4"}} 134 -{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup(\overline{A} \cap I))=P(A\cap \overline{I})+P(\overline{A} \cap I)= ?{{/formula}} 135 -{{/detail}} 136 - 137 -=== Teilaufgabe f) === 138 -{{detail summary="Hinweis 1"}} 139 -Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung. 140 -{{/detail}} 141 - 142 - 143 -{{detail summary="Hinweis 2"}} 144 -{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation 145 -<br> 146 -Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung. 147 -<br> 148 -{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= ?{{/formula}} 149 -{{/detail}} 150 - 151 - 152 -=== Teilaufgabe g) === 153 -{{detail summary="Hinweis 1"}} 154 -Eine Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung kann hier behilflich sein. 155 -{{/detail}} 156 - 157 - 158 -{{detail summary="Hinweis 2"}} 159 -In einer Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung werden die Werte der Zufallsgröße (hier z. B. der Gewinn) und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse notiert. 160 -{{/detail}} 161 - 162 - 163 -{{detail summary="Hinweis 3"}} 164 -In der Tabelle kann unterschieden werden zwischen „keine Rückgabe“, „Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit“ und „Rückgabe aus sonstigen Gründen“ 165 -<br> 166 -Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen 167 -<br> 168 -{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen 169 -(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %) 170 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen 171 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| | | 172 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}| | |{{formula}}a{{/formula}} 173 -{{/detail}} 174 - 175 - 176 -{{detail summary="Hinweis 4"}} 177 -(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %) 178 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen 179 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| 9|-0,5 |? 180 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|? |0,09|{{formula}}a{{/formula}} 181 -{{/detail}} 182 - 183 - 184 -{{detail summary="Hinweis 5"}} 185 -Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}. 186 -{{/detail}} 187 - 188 - 189 -{{detail summary="Hinweis 6"}} 190 -{{formula}}\mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n{{/formula}} 191 -{{/detail}} 192 - 193 - 194 -{{detail summary="Hinweis 7"}} 195 -(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %) 196 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen 197 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| 9|-0,5 |-0,5 198 -|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|0,91 -{{formula}}a{{/formula}} |0,09|{{formula}}a{{/formula}} 199 - 200 -{{formula}}\mu=(0,91-a)\cdot 9+0,09\cdot (-0,5)+a\cdot(-0,5){{/formula}} 201 -<br> 202 -{{formula}}\mu=6,50{{/formula}} 203 - 204 -{{/detail}} 205 - 206 - 207 -{{detail summary="Hinweis 8"}} 208 -{{formula}}(0,91-a)\cdot9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5{{/formula}} 209 -Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden. 210 -{{/detail}} 211 -
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