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Änderungen von Dokument Lösung Analysis - Lehrerauswahl II

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -89,14 +89,15 @@
89 89  
90 90  === Teilaufgabe d) ===
91 91  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
92 +[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
92 92  Schnittstellen: {{formula}} \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2=\frac{9}{8}\Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+7=0 {{/formula}}
93 93  <br>
94 94  {{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
96 +
95 95  <br>
96 96  {{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
97 97  
98 98  <br>
99 -
100 100  {{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
101 101  
102 102  <br>
... ... @@ -111,6 +111,7 @@
111 111  </p>
112 112  //Lösung//
113 113  <br>
115 +[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
114 114  Um die Schnittstellen zu berechnen, setzen wir {{formula}}f(x){{/formula}} mit {{formula}}y=\frac{9}{8}{{/formula}} gleich und formen um:
115 115  <br>
116 116  {{formula}}
... ... @@ -130,25 +130,35 @@
130 130  <br>
131 131  {{formula}}
132 132  \begin{align*}
133 -z_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
134 -\Leftrightarrow z_1=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
135 +z_{1,2}&=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
136 +\Leftrightarrow z_1&=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
135 135  \end{align*}
136 136  {{/formula}}
137 137  <br>
138 -{{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
140 +Resubstitution ({{formula}}z=x^2{{/formula}}):
139 139  <br>
140 -{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
142 +{{formula}}x^2=7 \ \Leftrightarrow \ x_{1/2}=\pm\sqrt{7}{{/formula}}
143 +<br>
144 +{{formula}}x^2=1 \ \Leftrightarrow \ x_{3/4}=\pm \sqrt{1}=\pm 1 {{/formula}}
141 141  
142 142  <br>
147 +Wir berechnen jeweils den eingeschlossenen Flächeninhalt zwischen der Geraden und dem Graphen:
148 +<br>
143 143  
144 -{{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
150 +{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{40}x^5-\frac{1}{3}x^3+\frac{7}{8}x\right]_{-1}^1 =\frac{17}{5} \approx 1{,}13 {{/formula}}
145 145  
152 +<p></p>
153 +
154 +{{formula}} \left|\int_{-\sqrt{7}}^{-1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right|=\left|\int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right| \approx |-1{,}18|=1{,}18 {{/formula}}
155 +
156 +<p></p>
157 +Die von den Graphen eingeschlossene Fläche oberhalb der Geraden ist also kleiner als jede der beiden wegen der Achsensymmetrie gleich großen Flächen unterhalb der Geraden. Die Gerade muss also nach unten verschoben werden, damit alle betrachteten Flächen gleich groß sind.
146 146  {{/detail}}
147 147  
148 148  == 1.2 ==
149 149  === Teilaufgabe a) ===
150 150  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
151 -[[image:1.2a.png||width="300"]]
163 +[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
152 152  {{/detail}}
153 153  
154 154  
... ... @@ -162,7 +162,7 @@
162 162  //Lösung//
163 163  <br>
164 164  Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
165 -[[image:1.2a.png||width="300"]]
177 +[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
166 166  {{/detail}}
167 167  
168 168  
... ... @@ -307,12 +307,9 @@
307 307  === Teilaufgabe a) ===
308 308  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
309 309  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
310 -<br><p>
311 -Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
312 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
313 -</p>
314 -Daher {{formula}}
315 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
322 +<br>
323 +{{formula}}
324 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
316 316  {{/formula}}.
317 317  {{/detail}}
318 318  
... ... @@ -322,11 +322,11 @@
322 322  <br><p>
323 323  Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
324 324  <p></p>
325 - Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
334 +Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
326 326  </p>
327 327  //Lösung//
328 328  <br>
329 -Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
338 +Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0)= 81{{/formula}}
330 330  <br>
331 331  Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
332 332  <br>
... ... @@ -339,8 +339,8 @@
339 339  Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
340 340  {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
341 341  <p></p>
342 -Daher {{formula}}
343 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
351 +Daher: {{formula}}
352 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n =81\cdot \left(e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
344 344  {{/formula}}.
345 345  {{/detail}}
346 346  
... ... @@ -347,14 +347,14 @@
347 347  === Teilaufgabe b) ===
348 348  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
349 349  {{formula}}
350 -81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
351 -\Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
359 +81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01 \
360 +\Leftrightarrow \ e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < \frac{1}{8100} \ \Leftrightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n <\ln\left(\frac{1}{8100}\right)
352 352  {{/formula}}
353 353  <br>
354 354  liefert
355 355  <br>
356 356  {{formula}}
357 -n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
366 +n > \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
358 358  {{/formula}}
359 359  <br>
360 360  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
... ... @@ -368,22 +368,22 @@
368 368  </p>
369 369  //Lösung//
370 370  <br>
371 -Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
380 +Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01{{/formula}}
372 372  <br>
373 373  Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
374 374  <br>
375 375  {{formula}}
376 376  \begin{align*}
377 -81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
378 -\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
379 -\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
380 -\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
381 -\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98
386 + 81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< 0{,}01=\frac{1}{100} &&\mid :81\\
387 +\Leftrightarrow e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< \frac{1}{8100} &&\mid \ln \\
388 +\Leftrightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n &< \ln\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid: \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\
389 +\Leftrightarrow n &> \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
382 382  \end{align*}
383 383  {{/formula}}
392 +
384 384  <br>
385 385  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
386 386  <p></p>
387 -//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
396 +//Beachte: Da {{formula}}\ln\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
388 388  {{/detail}}
389 389  
Lösung1.2a).png
Author
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1 +XWiki.akukin
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