Änderungen von Dokument Lösung Analysis - Lehrerauswahl II

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Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -89,9 +89,11 @@
  === Teilaufgabe d) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
++[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
  Schnittstellen: {{formula}} \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2=\frac{9}{8}\Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+7=0 {{/formula}}
  <br>
  {{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
++
  <br>
  {{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
@@ -110,7 +110,8 @@
  </p>
  //Lösung//
  <br>
--Um die Schnittstellen zu berechnen, setzen wir {{formula}}f(x){{/formula}} mit {{formula}}y=\frac{9}{8}{{/formula}} gleich und formen um:
++[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
++Um die Schnittstellen des Graphen {{formula}} K_{f} {{/formula}} mit der Geraden zu berechnen, setzen wir {{formula}}f(x){{/formula}} mit {{formula}}y=\frac{9}{8}{{/formula}} gleich und formen um:
  <br>
  {{formula}}
  \begin{align*}
@@ -129,28 +129,35 @@
  <br>
  {{formula}}
  \begin{align*}
--z_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
--\Leftrightarrow z_1=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
++z_{1,2}&=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
++\Leftrightarrow z_1&=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
  \end{align*}
  {{/formula}}
  <br>
--{{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
++Resubstitution ({{formula}}z=x^2{{/formula}}):
++<br>
++{{formula}}x^2=7 \ \Leftrightarrow \ x_{1/2}=\pm\sqrt{7}{{/formula}}
++<br>
++{{formula}}x^2=1 \ \Leftrightarrow \ x_{3/4}=\pm \sqrt{1}=\pm 1 {{/formula}}
++<br>
  Wir berechnen jeweils den eingeschlossenen Flächeninhalt zwischen der Geraden und dem Graphen:
++<br>
--<br>
--{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
++{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{40}x^5-\frac{1}{3}x^3+\frac{7}{8}x\right]_{-1}^1 =\frac{17}{5} \approx 1{,}13 {{/formula}}
--<br>
++<p></p>
--{{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
++{{formula}} \left|\int_{-\sqrt{7}}^{-1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right|=\left|\int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right| \approx |-1{,}18|=1{,}18 {{/formula}}
++<p></p>
++Die von den Graphen eingeschlossene Fläche oberhalb der Geraden ist also kleiner als jede der beiden wegen der Achsensymmetrie gleich großen Flächen unterhalb der Geraden. Die Gerade muss also nach unten verschoben werden, damit alle betrachteten Flächen gleich groß sind.
  {{/detail}}
  == 1.2 ==
  === Teilaufgabe a) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
--[[image:1.2a.png||width="300"]]
++[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
  {{/detail}}
@@ -164,7 +164,7 @@
  //Lösung//
  <br>
  Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
--[[image:1.2a.png||width="300"]]
++[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
  {{/detail}}
@@ -309,12 +309,9 @@
  === Teilaufgabe a) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
--<br><p>
--Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
--{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
--</p>
--Daher {{formula}}
--A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
++<br>
++{{formula}}
++A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
  {{/formula}}.
  {{/detail}}
@@ -324,11 +324,11 @@
  <br><p>
  Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
  <p></p>
-- Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
++Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
  </p>
  //Lösung//
  <br>
--Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
++Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0)= 81{{/formula}}
  <br>
  Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot  \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
  <br>
@@ -341,8 +341,8 @@
  Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
  {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
  <p></p>
--Daher {{formula}}
--A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
++Daher: {{formula}}
++A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n =81\cdot \left(e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
  {{/formula}}.
  {{/detail}}
@@ -349,14 +349,14 @@
  === Teilaufgabe b) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
  {{formula}}
--81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
--\Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
++81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01 \
++\Leftrightarrow \ e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < \frac{1}{8100} \ \Leftrightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n <\ln\left(\frac{1}{8100}\right)
  {{/formula}}
  <br>
  liefert
  <br>
  {{formula}}
--n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
++n > \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
  {{/formula}}
  <br>
  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
@@ -370,22 +370,22 @@
  </p>
  //Lösung//
  <br>
--Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
++Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01{{/formula}}
  <br>
  Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
  <br>
  {{formula}}
  \begin{align*}
--81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
--\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
--\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
--\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
--\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right)  \approx 12,98
++ 81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< 0{,}01=\frac{1}{100} &&\mid :81\\
++\Leftrightarrow  e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< \frac{1}{8100} &&\mid \ln \\
++\Leftrightarrow   \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n &< \ln\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid: \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\
++\Leftrightarrow n &> \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
  \end{align*}
  {{/formula}}
++
  <br>
  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
  <p></p>
--//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
++//Beachte: Da {{formula}}\ln\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
  {{/detail}}

Lösung1.2a).png

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